Давайте найдем производные указанных функций по шагам. Мы будем использовать основные правила дифференцирования, включая правило производной сложной функции и производные тригонометрических функций.

1. Для функции F(x) = sin² x используем правило производной сложной функции. Обозначим u = sin x. Тогда F(x) = u².
2. Применим правило: (u²)' = 2u * u', где u' = cos x.
3. Таким образом, F'(x) = 2 * sin x * cos x = sin(2x) (по формуле двойного угла).
4. Теперь найдем производную f(x) = sin 2x. Используем правило: (sin kx)' = k * cos kx.
5. Таким образом, f'(x) = 2 * cos 2x.

1. Для F(x) = cos(cos 2x) используем правило производной сложной функции. Обозначим u = cos 2x.
2. Тогда F(x) = cos(u) и F'(x) = -sin(u) * u'.
3. Теперь найдем u' = -2sin 2x (по производной cos 2x).
4. Следовательно, F'(x) = -sin(cos 2x) * (-2sin 2x) = 2sin(cos 2x) * sin 2x.
5. Теперь найдем производную f(x) = -sin 2x. Используем правило: (sin kx)' = k * cos kx.
6. Таким образом, f'(x) = -2 * cos 2x.

1. Для функции F(x) = sin 3x используем правило: (sin kx)' = k * cos kx.
2. Таким образом, F'(x) = 3 * cos 3x.
3. Теперь найдем производную f(x) = 3 cos 3x. Здесь применяем правило: (cos kx)' = -k * sin kx.
4. Следовательно, f'(x) = 3 * (-3 sin 3x) = -9 sin 3x.

1. Для функции F(x) = 3 + tg x. Производная константы равна 0, а для tg x производная равна (sec² x).
2. Таким образом, F'(x) = 0 + sec² x = sec² x.
3. Теперь найдем производную f(x) = 2 cos 2x. Используем правило: (cos kx)' = -k * sin kx.
4. Таким образом, f'(x) = 2 * (-2 sin 2x) = -4 sin 2x.

Итак, производные функций:

• Для F(x) = sin² x, F'(x) = sin(2x); f(x) = sin 2x, f'(x) = 2 cos 2x.
• Для F(x) = cos(cos 2x), F'(x) = 2sin(cos 2x) * sin 2x; f(x) = -sin 2x, f'(x) = -2 cos 2x.
• Для F(x) = sin 3x, F'(x) = 3 cos 3x; f(x) = 3 cos 3x, f'(x) = -9 sin 3x.
• Для F(x) = 3 + tg x, F'(x) = sec² x; f(x) = 2 cos 2x, f'(x) = -4 sin 2x.