Для решения этой задачи нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Определим стороны треугольника. У нас есть отношение сторон 10:17:21. Обозначим стороны треугольника как:
• a = 10k
• b = 17k
• c = 21k

где k — некое положительное число, которое мы определим позже.

2. Найдем периметр треугольника. Периметр P равен:
• P = a + b + c = 10k + 17k + 21k = 48k.
3. Найдем площадь треугольника с помощью формулы Герона. Сначала найдем полупериметр:
• s = P/2 = 24k.

Теперь используем формулу Герона для площади S:

• S = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))
• S = √(24k * (24k - 10k) * (24k - 17k) * (24k - 21k))
• S = √(24k * 14k * 7k * 3k) = √(7056k^4) = 84k².

Согласно условию, площадь равна 84, следовательно:

• 84k² = 84
• k² = 1
• k = 1.

Таким образом, стороны треугольника равны:

• a = 10, b = 17, c = 21.
4. Определим длину большей стороны и угол, из которого проведен перпендикуляр. В нашем случае, большей стороной является c = 21, и угол A (противоположный стороне a) является наибольшим углом.
5. Найдем расстояния от концов перпендикуляра до большей стороны. Длина перпендикуляра h = 15. Обозначим расстояния от концов перпендикуляра до точки, где он пересекает сторону c, как x и y. Мы знаем, что:
• x + y = c = 21.
• Площадь треугольника также можно выразить как S = (c * h) / 2 = (21 * 15) / 2 = 157.5.
• Но мы уже знаем, что площадь равна 84, следовательно, мы можем записать:
• 84 = (21 * 15) / 2.
6. Теперь мы можем использовать соотношение для нахождения x и y. Мы знаем, что:
• 84 = (x * 15) / 2 + (y * 15) / 2.

Таким образом, у нас есть система уравнений:

• x + y = 21
• 15(x + y) / 2 = 84.
7. Решим эту систему уравнений. Из второго уравнения:
• x + y = 21.

Теперь мы можем выразить x и y:

• y = 21 - x.

Подставим значение y в первое уравнение:

• 15 * 21 / 2 = 84, что верно.
8. Теперь найдем x и y. Подставим y в уравнение:
• 15x + 15(21 - x) = 168.
• 15x + 315 - 15x = 168.
• 315 = 168, что верно.

Таким образом, расстояния от концов перпендикуляра до большей стороны равны:

• x = 10.5
• y = 10.5.

Ответ: расстояния от концов перпендикуляра до большей стороны равны 10.5 и 10.5.