Каковы размеры сторон прямоугольника, который вписан в прямоугольный треугольник с гипотенузой 16 см и острым углом 30°, чтобы его площадь была максимальной, если две вершины прямоугольника располагаются на гипотенузе, а две другие - на катетах?

Алгебра 11 класс Оптимизация площади фигур прямоугольник в треугольнике размеры сторон площадь максимальная гипотенуза 16 см острый угол 30° катеты треугольника алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти размеры сторон прямоугольника, вписанного в прямоугольный треугольник с гипотенузой 16 см и острым углом 30°, следуем следующим шагам:

1. Определим размеры треугольника.
   • Гипотенуза треугольника равна 16 см.
   • Поскольку один из острых углов равен 30°, другой угол будет равен 60° (поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°).
   • Стороны треугольника можно найти с помощью тригонометрических функций:
   • Катет, противолежащий углу 30° (обозначим его a), можно найти по формуле: a = гипотенуза * sin(30°) = 16 * 0.5 = 8 см.
   • Катет, прилежащий к углу 30° (обозначим его b), можно найти по формуле: b = гипотенуза * cos(30°) = 16 * (sqrt(3)/2) ≈ 16 * 0.866 = 13.856 см.
2. Запишем выражение для площади прямоугольника.
   • Обозначим ширину прямоугольника как x (на катете a) и высоту как y (на катете b).
   • Площадь прямоугольника будет равна P = x * y.
3. Связь между x и y.
   • Согласно свойствам подобия треугольников, можно выразить y через x. Прямоугольник будет подобен большому треугольнику, и мы можем записать:
   • y = (b/a) * x = (13.856/8) * x ≈ 1.732 * x.
4. Подставим y в формулу для площади.
   • Теперь подставим y в выражение для площади:
   • P = x * (1.732 * x) = 1.732 * x^2.
5. Найдем максимальную площадь.
   • Площадь P является квадратичной функцией, и её максимум будет достигаться в точке, где производная равна нулю.
   • Найдем производную: P' = 2 * 1.732 * x.
   • Приравняем производную к нулю: 2 * 1.732 * x = 0.
   • Это уравнение имеет решение x = 0, что не подходит для нашего случая. Следовательно, нужно также учитывать, что максимальная площадь будет достигаться при максимальных значениях x и y.
6. Определим максимальные значения x и y.
   • Максимальное значение x будет равно длине катета a (8 см), а y будет равно (13.856/8) * 8 = 13.856 см.
   • Таким образом, максимальная площадь будет достигнута при x = 8 см и y = 13.856 см.

Ответ: Размеры сторон прямоугольника, вписанного в прямоугольный треугольник, равны 8 см и примерно 13.856 см.