Каковы решения следующих задач по алгебре?

1. Найдите коэффициент при x^3 в биномиальном разложении (4 – 2x)^4.
2. Определите множество точек координатной плоскости, заданное системой неравенств:
   • x^2 – 4x + y^2 – 5 ≤ 0,
   • y + x^2 – 3 ≤ 0.
3. Решите систему уравнений:
   • x^2 + y = 10,
   • 3x - y = -10.
4. Решите задачу с помощью системы уравнений. Найдите числа, сумма которых равна 20, а произведение – 75.
5. Из цифр 4, 1, 5, 3, 6, 9 составлены всевозможные пятизначные числа без повторения цифр. Сколько среди этих чисел таких, которые кратны 2?
6. В кружке по спортивной стрельбе 16 мальчиков и 6 девочек. Сколькими способами можно выбрать из них четырех мальчиков и двух девочек для участия в соревнованиях?
7. Сколько четырехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр: 0, 2, 4, 6, 8?

Срочно дам много балов!

Алгебра 11 класс Алгебраические уравнения и неравенства, комбинаторика алгебра 11 класс биномиальное разложение коэффициент при x^3 система неравенств множество точек координатная плоскость уравнения система уравнений сумма и произведение пятизначные числа кратные 2 выбор мальчиков и девочек спортивная стрельба комбинаторика Четырёхзначные числа уникальные цифры задачи по алгебре Новый

1. Найдите коэффициент при x^3 в биномиальном разложении (4 – 2x)^4.

Для нахождения коэффициента при x^3 в биномиальном разложении мы используем формулу бинома Ньютона:

(a + b)^n = Σ (C(n, k) * a^(n-k) * b^k), где C(n, k) - биномиальный коэффициент.

В нашем случае a = 4, b = -2x и n = 4. Мы ищем член, в котором степень x равна 3, то есть k = 3. Подставляем значения:

• Коэффициент: C(4, 3) = 4!
• Считаем: C(4, 3) = 4.
• Число: (4)^(4-3) = 4^1 = 4.
• Член: C(4, 3) * (4)^(1) * (-2x)^3 = 4 * 4 * (-8x^3) = -128x^3.

Таким образом, коэффициент при x^3 равен -128.

2. Определите множество точек координатной плоскости, заданное системой неравенств:

x^2 – 4x + y^2 – 5 ≤ 0, y + x^2 – 3 ≤ 0.

Первое неравенство можно переписать в виде:

(x^2 - 4x + 4) + y^2 ≤ 9, что обозначает окружность с центром в (2, 0) и радиусом 3.

Второе неравенство преобразуется в y ≤ -x^2 + 3, что представляет собой параболу, открывающуюся вниз.

Таким образом, множество точек, удовлетворяющее обеим условиям, будет находиться внутри окружности и под параболой.

3. Решите систему уравнений:

x^2 + y = 10, 3x - y = -10.

Во-первых, выразим y из первого уравнения: y = 10 - x^2.

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

3x - (10 - x^2) = -10.

Упрощаем: 3x + x^2 - 10 + 10 = 0, то есть x^2 + 3x = 0.

Факторизуем: x(x + 3) = 0, откуда x = 0 или x = -3.

Теперь находим соответствующие значения y:

• Если x = 0, то y = 10.
• Если x = -3, то y = 10 - (-3)^2 = 10 - 9 = 1.

Таким образом, решения: (0, 10) и (-3, 1).

4. Найдите числа, сумма которых равна 20, а произведение – 75.

Обозначим искомые числа как x и y. Составим систему уравнений:

• x + y = 20,
• xy = 75.

Из первого уравнения выразим y: y = 20 - x. Подставим это во второе уравнение:

x(20 - x) = 75.

Раскроем скобки: 20x - x^2 = 75. Перепишем уравнение в стандартном виде: x^2 - 20x + 75 = 0.

Находим дискриминант: D = 20^2 - 4 * 1 * 75 = 400 - 300 = 100.

Корни: x1 = (20 + 10) / 2 = 15, x2 = (20 - 10) / 2 = 5.

Следовательно, числа 5 и 15.

5. Из цифр 4, 1, 5, 3, 6, 9 составлены всевозможные пятизначные числа без повторения цифр. Сколько среди этих чисел таких, которые кратны 2?

Для того чтобы число было кратно 2, его последняя цифра должна быть четной. Из данных цифр четные: 4 и 6. Рассмотрим каждую из них по отдельности:

• Если последняя цифра 4, то на первое место можно выбрать 5 цифр (1, 5, 3, 6, 9), на второе - 4 оставшиеся, на третье - 3, на четвертое - 2. Таким образом, всего: 5 * 4 * 3 * 2 = 120.
• Если последняя цифра 6, то аналогично: 5 * 4 * 3 * 2 = 120.

Суммируем: 120 + 120 = 240 чисел, которые кратны 2.

6. В кружке по спортивной стрельбе 16 мальчиков и 6 девочек. Сколькими способами можно выбрать из них четырех мальчиков и двух девочек для участия в соревнованиях?

Используем формулы сочетаний:

• Количество способов выбрать 4 мальчиков из 16: C(16, 4).
• Количество способов выбрать 2 девочек из 6: C(6, 2).

Общее количество способов: C(16, 4) * C(6, 2). Подсчитаем:

C(16, 4) = 1820, C(6, 2) = 15. Умножаем: 1820 * 15 = 27300.

7. Сколько четырехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр: 0, 2, 4, 6, 8?

Поскольку четырехзначное число не может начинаться с 0, мы имеем 4 варианта для первой цифры (2, 4, 6, 8). После выбора первой цифры у нас останется 4 цифры для второго места, 3 для третьего и 2 для четвертого.

Таким образом, общее количество четырехзначных чисел будет равно: 4 * 4 * 3 * 2 = 96.

Объяснение: Мы рассмотрели каждую задачу, применив соответствующие методы и формулы для решения. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!