Чтобы проанализировать свойства последовательности Xn = (n^2 + 3) / (2n^2) в отношении её ограниченности и монотонности, начнем с определения этих понятий.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число M, что для всех n выполняется неравенство |Xn| ≤ M.

Рассмотрим Xn:

Xn = (n^2 + 3) / (2n^2) = (1 + 3/n^2) / 2.

При увеличении n, член 3/n^2 стремится к 0. Таким образом, можно сказать, что:

Xn стремится к 1/2, когда n стремится к бесконечности.

Теперь определим границы последовательности:

• Для n = 1: X1 = (1^2 + 3) / (2 * 1^2) = 4 / 2 = 2.
• Для n = 2: X2 = (2^2 + 3) / (2 * 2^2) = 7 / 8 = 0.875.
• Для n = 3: X3 = (3^2 + 3) / (2 * 3^2) = 12 / 18 = 0.6667.

Таким образом, видно, что Xn убывает с увеличением n и стремится к 1/2. Следовательно, последовательность ограничена, так как для всех n мы имеем:

0 < Xn < 2.

Теперь рассмотрим монотонность. Мы должны проверить, является ли последовательность возрастающей или убывающей. Для этого сравним Xn и Xn+1:

Xn+1 = ((n+1)^2 + 3) / (2(n+1)^2) = (n^2 + 2n + 1 + 3) / (2(n^2 + 2n + 1)) = (n^2 + 2n + 4) / (2(n^2 + 2n + 1)).

Теперь сравним Xn+1 и Xn:

Xn+1 - Xn = ((n^2 + 2n + 4) / (2(n^2 + 2n + 1))) - ((n^2 + 3) / (2n^2)).

Для упрощения сравнения, приведем к общему знаменателю:

Общий знаменатель будет 2n^2(n^2 + 2n + 1).

Теперь, если мы проанализируем знак выражения Xn+1 - Xn, мы увидим, что оно будет отрицательным, что подтверждает, что Xn+1 < Xn.

Таким образом, последовательность Xn убывает.

Последовательность Xn = (n^2 + 3) / (2n^2 является ограниченной и убывающей.