Каковы все целочисленные решения уравнения:

20x² + 21y² = 2021

Алгебра 11 класс Целочисленные уравнения алгебра 11 класс целочисленные решения уравнение 20x² + 21y² = 2021 математические задачи Новый

Чтобы найти все целочисленные решения уравнения 20x² + 21y² = 2021, давайте начнем с анализа этого уравнения.

1. Преобразуем уравнение:

• Сначала заметим, что 2021 делится на 1, 7, 43 и 2021. Это может помочь в поиске решений.
• Мы можем упростить уравнение, разделив все его члены на 1, чтобы работать с меньшими числами, но в данном случае это не даст нам новых данных.

2. Поиск целочисленных решений:

• Мы можем попробовать подставить различные целые значения для x и y и смотреть, удовлетворяет ли уравнение.
• Так как 20x² и 21y² всегда неотрицательны, то 20x² ≤ 2021 и 21y² ≤ 2021. Это означает, что:
• x² ≤ 2021/20 ≈ 101.05, следовательно, |x| ≤ 10.
• y² ≤ 2021/21 ≈ 96.76, следовательно, |y| ≤ 9.

3. Перебор значений:

• Теперь мы можем перебрать все целые значения x от -10 до 10 и y от -9 до 9.
• Для каждого x мы будем вычислять 20x² и затем находить подходящие y, чтобы 21y² = 2021 - 20x².

4. Пример перебора:

• Если x = 0: 20(0)² + 21y² = 2021 => 21y² = 2021 => y² = 2021/21 ≈ 96.76, y не является целым.
• Если x = 1: 20(1)² + 21y² = 2021 => 20 + 21y² = 2021 => 21y² = 2001 => y² = 2001/21 ≈ 95.38, y не является целым.
• Если x = 2: 20(2)² + 21y² = 2021 => 80 + 21y² = 2021 => 21y² = 1941 => y² = 1941/21 ≈ 92.43, y не является целым.
• Если x = 3: 20(3)² + 21y² = 2021 => 180 + 21y² = 2021 => 21y² = 1841 => y² = 1841/21 ≈ 87.67, y не является целым.
• Если x = 4: 20(4)² + 21y² = 2021 => 320 + 21y² = 2021 => 21y² = 1701 => y² = 1701/21 ≈ 81.00, y не является целым.
• Если x = 5: 20(5)² + 21y² = 2021 => 500 + 21y² = 2021 => 21y² = 1521 => y² = 1521/21 = 72.43, y не является целым.
• Если x = 6: 20(6)² + 21y² = 2021 => 720 + 21y² = 2021 => 21y² = 1301 => y² = 1301/21 ≈ 61.00, y не является целым.
• Если x = 7: 20(7)² + 21y² = 2021 => 980 + 21y² = 2021 => 21y² = 1041 => y² = 1041/21 ≈ 49.57, y не является целым.
• Если x = 8: 20(8)² + 21y² = 2021 => 1280 + 21y² = 2021 => 21y² = 741 => y² = 741/21 ≈ 35.29, y не является целым.
• Если x = 9: 20(9)² + 21y² = 2021 => 1620 + 21y² = 2021 => 21y² = 401 => y² = 401/21 ≈ 19.10, y не является целым.
• Если x = 10: 20(10)² + 21y² = 2021 => 2000 + 21y² = 2021 => 21y² = 21 => y² = 1, y = ±1.

5. Итоги:

• Мы нашли одно целочисленное решение: (10, 1) и (10, -1).
• Проверив остальные значения x от -10 до -1, можно заметить, что они не дают новых решений.

Таким образом, все целочисленные решения уравнения 20x² + 21y² = 2021:

• (10, 1)
• (10, -1)