В алгебре, особенно в курсе математического анализа, границы и производные играют важную роль. Давайте рассмотрим основные формулы и правила, связанные с этими понятиями.

• Предел функции f(x) при x стремящемся к a: lim (x -> a) f(x).
• Предел постоянной: lim (x -> a) c = c, где c - константа.
• Предел суммы: lim (x -> a) [f(x) + g(x)] = lim (x -> a) f(x) + lim (x -> a) g(x).
• Предел произведения: lim (x -> a) [f(x) * g(x)] = lim (x -> a) f(x) * lim (x -> a) g(x).
• Предел частного: lim (x -> a) [f(x) / g(x)] = lim (x -> a) f(x) / lim (x -> a) g(x), при условии, что lim (x -> a) g(x) ≠ 0.

• Производная постоянной: (d/dx)(c) = 0, где c - константа.
• Производная переменной: (d/dx)(x) = 1.
• Производная суммы: (d/dx)(f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x).
• Производная разности: (d/dx)(f(x) - g(x)) = f'(x) - g'(x).
• Производная произведения: (d/dx)(f(x) * g(x)) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x).
• Производная частного: (d/dx)(f(x) / g(x)) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / (g(x))^2, при условии, что g(x) ≠ 0.

• (d/dx)(x^n) = n * x^(n-1), где n - любое действительное число.
• (d/dx)(e^x) = e^x.
• (d/dx)(ln(x)) = 1/x, при x > 0.
• (d/dx)(sin(x)) = cos(x).
• (d/dx)(cos(x)) = -sin(x).
• (d/dx)(tan(x)) = sec^2(x).

Если предел имеет неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то:

lim (x -> a) [f(x)/g(x)] = lim (x -> a) [f'(x)/g'(x)], при условии, что предел правой части существует.

Эти формулы и правила являются основными инструментами для работы с границами и производными в алгебре. Знание и умение применять их поможет вам решать множество задач в математике.