Каковы значения переменной x, для которых выполняется неравенство f(x) ≤ 0, если f(x) = x(x-2)^2 (x-1)^3 (x+5)?

Алгебра 11 класс Неравенства с многочленами неравенство f(x) ≤ 0 значения переменной x алгебра 11 класс решение неравенств анализ функции f(x) корни функции график функции математический анализ алгебраические выражения Новый

Чтобы решить неравенство f(x) ≤ 0, начнем с анализа самого многочлена f(x) = x(x-2)^2 (x-1)^3 (x+5).

Шаг 1: Найдем корни уравнения f(x) = 0.

• Корень x = 0 (при x = 0, f(0) = 0).
• Корень x = 2 (при x = 2, f(2) = 0, так как (x-2)^2 = 0).
• Корень x = 1 (при x = 1, f(1) = 0, так как (x-1)^3 = 0).
• Корень x = -5 (при x = -5, f(-5) = 0).

Таким образом, корни многочлена: x = -5, 0, 1, 2.

Шаг 2: Определим знаки на интервалах.

Мы будем исследовать знак функции f(x) на интервалах, образованных найденными корнями:

• (-∞, -5)
• (-5, 0)
• (0, 1)
• (1, 2)
• (2, +∞)

Теперь проверим знак функции f(x) в каждом из интервалов:

1. Для интервала (-∞, -5):
   • Выберем x = -6: f(-6) = (-6)(-8)^2(-7)^3(-1) < 0 (функция отрицательна).
2. Для интервала (-5, 0):
   • Выберем x = -1: f(-1) = (-1)(-3)^2(-2)^3(4) > 0 (функция положительна).
3. Для интервала (0, 1):
   • Выберем x = 0.5: f(0.5) = (0.5)(-1.5)^2(-0.5)^3(5) < 0 (функция отрицательна).
4. Для интервала (1, 2):
   • Выберем x = 1.5: f(1.5) = (1.5)(-0.5)^2(0.5)^3(6) > 0 (функция положительна).
5. Для интервала (2, +∞):
   • Выберем x = 3: f(3) = (3)(1)^2(2)^3(8) > 0 (функция положительна).

Шаг 3: Составим итог.

Теперь мы можем записать знаки функции на интервалах:

• (-∞, -5): f(x) < 0
• (-5, 0): f(x) > 0
• (0, 1): f(x) < 0
• (1, 2): f(x) > 0
• (2, +∞): f(x) > 0

Теперь мы можем определить, где f(x) ≤ 0. Это происходит на интервалах:

• (-∞, -5)
• [0, 1]
(включая корни, так как f(0) = 0 и f(1) = 0).

Ответ: Значения переменной x, для которых выполняется неравенство f(x) ≤ 0, это x ∈ (-∞, -5) ∪ [0, 1].