Какой должна быть высота конической воронки с образующей, равной 20 см, чтобы её объём стал максимальным?

Алгебра 11 класс Оптимизация объёма геометрических тел высота конической воронки объём воронки алгебра 11 класс максимальный объём задачи по алгебре Новый

Чтобы найти высоту конической воронки, при которой её объём максимален, необходимо использовать формулу объёма конуса и рассмотреть зависимость между высотой и радиусом основания.

Формула объёма конуса (или воронки) выглядит следующим образом:

V = (1/3) * π * r² * h

где V - объём, r - радиус основания, h - высота.

В данной задаче нам известно, что образующая (l) равна 20 см. Образующая, радиус и высота связаны между собой по теореме Пифагора:

l² = r² + h²

Подставим значение образующей в уравнение:

20² = r² + h²

Теперь выразим радиус r через высоту h:

r² = 20² - h²

r = √(20² - h²)

Теперь подставим это выражение для r в формулу объёма:

V = (1/3) * π * (20² - h²) * h

Упростим объём:

V = (1/3) * π * (400h - h³)

Теперь для нахождения максимума объёма V, необходимо найти производную V по h и приравнять её к нулю:

V' = (1/3) * π * (400 - 3h²)

Приравняем производную к нулю:

400 - 3h² = 0

Решим это уравнение:

1. 3h² = 400
2. h² = 400 / 3
3. h = √(400 / 3) = 20 / √3

Теперь, чтобы найти максимальную высоту, подставим значение:

h ≈ 11.55 см

Таким образом, высота конической воронки, при которой её объём будет максимальным, составляет примерно 11.55 см.