Чтобы построить график производной функции y = f(x), нам нужно проанализировать поведение самой функции на заданных интервалах. Давайте разберем информацию, которую мы имеем о функции f(x).
1. Анализ первого интервала:
- Функция f(x) возрастает на интервале (-∞; -4]. Это означает, что производная f'(x) будет положительной на этом интервале.
- Функция f(x) убывает на интервале [-4; +∞). Это означает, что производная f'(x) будет отрицательной на этом интервале.
2. Анализ второго интервала:
- Функция f(x) убывает на интервале (-∞; 0.5]. Это означает, что производная f'(x) будет отрицательной на этом интервале.
- Функция f(x) возрастает на интервале [-0.5; +∞). Это означает, что производная f'(x) будет положительной на этом интервале.
Теперь мы можем объединить эти данные, чтобы построить график производной:
3. Сводим информацию о производной:
- На интервале (-∞; -4] f'(x) > 0 (положительная производная).
- На точке x = -4 f'(x) = 0 (функция меняет направление, это точка максимума).
- На интервале (-4; 0.5] f'(x) < 0 (отрицательная производная).
- На точке x = 0.5 f'(x) = 0 (функция снова меняет направление, это точка минимума).
- На интервале [0.5; +∞) f'(x) > 0 (положительная производная).
Теперь, основываясь на этой информации, мы можем нарисовать график производной:
- Начинаем с положительного значения производной на интервале (-∞; -4].
- На x = -4 производная становится равной нулю, что указывает на максимум.
- Затем производная становится отрицательной на интервале (-4; 0.5].
- На x = 0.5 производная снова равна нулю, указывая на минимум.
- Наконец, на интервале [0.5; +∞) производная снова положительная.
Таким образом, график производной будет представлять собой две "горы" (положительные значения) и одну "долину" (отрицательные значения) с точками, где производная равна нулю на x = -4 и x = 0.5.