Какой минимальный годовой процент при собственных затратах f = 6 млн. рублей позволит банку получить прибыль не менее 12 млн. рублей, если сумма выданных кредитов q определяется по формуле q = 200 - 2p (млн. руб.)?

Алгебра 11 класс Задачи на проценты и прибыль минимальный годовой процент собственные затраты прибыль банка сумма выданных кредитов алгебра 11 класс Новый

Для решения этой задачи нам нужно определить минимальный годовой процент, который позволит банку получить прибыль не менее 12 миллионов рублей при собственных затратах в 6 миллионов рублей.

Начнем с определения необходимых переменных:

• f - собственные затраты банка (6 млн. рублей);
• p - годовой процент (в миллионах рублей);
• q - сумма выданных кредитов, которая зависит от процента p по формуле q = 200 - 2p.

Банк получает прибыль от выданных кредитов, поэтому сначала найдем, сколько банк заработает при данном проценте p:

Прибыль банка можно выразить как:

Прибыль = Доход от кредитов - Собственные затраты

Доход от кредитов можно найти, умножив сумму выданных кредитов q на процент p:

Доход = q p = (200 - 2p) p

Теперь подставим это в формулу для прибыли:

Прибыль = (200 - 2p) * p - f

Подставим значение собственных затрат f:

Прибыль = (200 - 2p) * p - 6

Теперь нам нужно, чтобы прибыль была не менее 12 миллионов рублей:

(200 - 2p) * p - 6 >= 12

Решим неравенство:

1. Переносим 6 на правую сторону:
(200 - 2p) * p >= 18
2. Раскрываем скобки:
200p - 2p^2 >= 18
3. Переносим 18 на левую сторону:
200p - 2p^2 - 18 >= 0
4. Упрощаем:
-2p^2 + 200p - 18 >= 0
5. Умножаем все на -1 (неравенство поменяет знак):
2p^2 - 200p + 18 <= 0

Теперь решим квадратное неравенство. Для начала найдем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-200)^2 - 4 2 18

Считаем:

D = 40000 - 144 = 39856

Теперь находим корни квадратного уравнения:

p1,2 = (-b ± √D) / (2a)

Подставляем значения:

p1,2 = (200 ± √39856) / 4

Теперь вычислим корни:

√39856 ≈ 199.64

Находим корни:

1. p1 = (200 + 199.64) / 4 ≈ 99.91;
2. p2 = (200 - 199.64) / 4 ≈ 0.09.

Теперь у нас есть два корня p1 ≈ 99.91 и p2 ≈ 0.09. Поскольку мы решаем неравенство 2p^2 - 200p + 18 <= 0, то необходимо определить промежутки, где это неравенство выполняется.

Точки p1 и p2 делят числовую ось на три промежутка:

• (-∞, 0.09);
• (0.09, 99.91);
• (99.91, +∞).

Проверим знаки в каждом из промежутков:

• Для p < 0.09, например, p = 0: 2(0)^2 - 200(0) + 18 = 18 > 0;
• Для 0.09 < p < 99.91, например, p = 50: 2(50)^2 - 200(50) + 18 = -2000 < 0;
• Для p > 99.91, например, p = 100: 2(100)^2 - 200(100) + 18 = 18 > 0.

Таким образом, неравенство выполняется в промежутке:

0.09 <= p <= 99.91

Следовательно, минимальный годовой процент, который позволит банку получить прибыль не менее 12 миллионов рублей, составляет: 0.09 млн. рублей или 9%.