Для решения этой задачи нам нужно определить минимальный годовой процент, который позволит банку получить прибыль не менее 12 миллионов рублей при собственных затратах в 6 миллионов рублей.

Начнем с определения необходимых переменных:

• f - собственные затраты банка (6 млн. рублей);
• p - годовой процент (в миллионах рублей);
• q - сумма выданных кредитов, которая зависит от процента p по формуле q = 200 - 2p.

Банк получает прибыль от выданных кредитов, поэтому сначала найдем, сколько банк заработает при данном проценте p:

Прибыль банка можно выразить как:

Доход от кредитов можно найти, умножив сумму выданных кредитов q на процент p:

Теперь подставим это в формулу для прибыли:

Подставим значение собственных затрат f:

Теперь нам нужно, чтобы прибыль была не менее 12 миллионов рублей:

Решим неравенство:

1. Переносим 6 на правую сторону:
(200 - 2p) * p >= 18
2. Раскрываем скобки:
200p - 2p^2 >= 18
3. Переносим 18 на левую сторону:
200p - 2p^2 - 18 >= 0
4. Упрощаем:
-2p^2 + 200p - 18 >= 0
5. Умножаем все на -1 (неравенство поменяет знак):
2p^2 - 200p + 18 <= 0

Теперь решим квадратное неравенство. Для начала найдем дискриминант:

Считаем:

Теперь находим корни квадратного уравнения:

Подставляем значения:

Теперь вычислим корни:

Находим корни:

1. p1 = (200 + 199.64) / 4 ≈ 99.91;
2. p2 = (200 - 199.64) / 4 ≈ 0.09.

Теперь у нас есть два корня p1 ≈ 99.91 и p2 ≈ 0.09. Поскольку мы решаем неравенство 2p^2 - 200p + 18 <= 0, то необходимо определить промежутки, где это неравенство выполняется.

Точки p1 и p2 делят числовую ось на три промежутка:

• (-∞, 0.09);
• (0.09, 99.91);
• (99.91, +∞).

Проверим знаки в каждом из промежутков:

• Для p < 0.09, например, p = 0: 2(0)^2 - 200(0) + 18 = 18 > 0;
• Для 0.09 < p < 99.91, например, p = 50: 2(50)^2 - 200(50) + 18 = -2000 < 0;
• Для p > 99.91, например, p = 100: 2(100)^2 - 200(100) + 18 = 18 > 0.

Таким образом, неравенство выполняется в промежутке:

Следовательно, минимальный годовой процент, который позволит банку получить прибыль не менее 12 миллионов рублей, составляет:0.09 млн. рублей или 9%.