Какой наибольший общий делитель двух натуральных чисел, сумма которых составляет 2021, а наименьшее общее кратное равно 12040?

Алгебра 11 класс Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное наибольший общий делитель два натуральных числа сумма 2021 наименьшее общее кратное 12040 алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух натуральных чисел, сумма которых составляет 2021, а наименьшее общее кратное (НОК) равно 12040, мы можем воспользоваться следующими свойствами:

• Сумма двух чисел a и b: a + b = 2021.
• Наименьшее общее кратное двух чисел: НОК(a, b) = (a * b) / НОД(a, b).

Обозначим НОД(a, b) как d. Тогда мы можем записать:

• a = d * m, где m - целое число, такое что НОД(m, n) = 1 (то есть m и n взаимно простые).
• b = d * n.

Теперь подставим a и b в уравнение для суммы:

d * m + d * n = 2021.

Это можно упростить:

d * (m + n) = 2021.

Отсюда следует, что d делит 2021. Теперь найдем делители числа 2021:

• 2021 = 43 * 47.
• Делители: 1, 43, 47, 2021.

Теперь используем информацию о НОК:

Нам известно, что НОК(a, b) = (a * b) / НОД(a, b). Подставим a и b:

НОК(d * m, d * n) = (d * m * d * n) / d = d * m * n.

Таким образом, у нас получается:

d * m * n = 12040.

Теперь у нас есть две системы уравнений:

• d * (m + n) = 2021
• d * m * n = 12040

Теперь мы можем выразить m + n и m * n через d:

Из первого уравнения получаем:

m + n = 2021 / d.

Из второго уравнения:

m * n = 12040 / d.

Теперь подставим m и n в уравнение:

(m + n)^2 = m^2 + n^2 + 2 * m * n.

Подставим выражения:

(2021 / d)^2 = m^2 + n^2 + 2 * (12040 / d).

Теперь решим это уравнение для каждого делителя d, начиная с наибольшего:

1. Для d = 2021:
2. m + n = 1 (не подойдёт, так как m и n должны быть натуральными числами).
3. Для d = 47:
4. m + n = 43, m * n = 256. Решив квадратное уравнение:
5. x^2 - 43x + 256 = 0, получаем корни 16 и 27.
6. Для m = 16, n = 27, НОД(16, 27) = 1.
7. Для d = 43:
8. m + n = 47, m * n = 280. Решив квадратное уравнение:
9. x^2 - 47x + 280 = 0, получаем корни 7 и 40.
10. Для m = 7, n = 40, НОД(7, 40) = 1.
11. Для d = 1:
12. m + n = 2021, m * n = 12040 (не подойдёт, так как m и n будут слишком большими).

Таким образом, наибольший общий делитель (НОД) двух чисел равен 47.

Ответ: НОД = 47.