Какой остаток получится при делении числа a на 35, если известно, что остаток от деления этого числа на 5 равен 4, а остаток от деления на 7 равен 1?

Алгебра 11 класс Системы линейных сравнений остаток от деления число a деление на 35 остаток на 5 остаток на 7 алгебра 11 класс Новый

Для решения этой задачи мы воспользуемся свойствами деления и системой сравнений. Давайте рассмотрим условия по отдельности:

• Остаток от деления числа a на 5 равен 4. Это можно записать как:
a ≡ 4 (mod 5)
• Остаток от деления числа a на 7 равен 1. Это можно записать как:
a ≡ 1 (mod 7)

Теперь у нас есть система линейных сравнений:

• a ≡ 4 (mod 5)
• a ≡ 1 (mod 7)

Мы можем решить эту систему, используя метод подстановки. Начнем с первого уравнения:

Из первого уравнения мы можем выразить a:

a = 5k + 4, где k - целое число.

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

5k + 4 ≡ 1 (mod 7)

Упростим это уравнение:

5k + 4 - 1 ≡ 0 (mod 7) 5k + 3 ≡ 0 (mod 7) 5k ≡ -3 (mod 7)

Так как -3 эквивалентно 4 по модулю 7 (прибавляем 7), мы можем записать:

5k ≡ 4 (mod 7)

Теперь мы можем найти обратное число к 5 по модулю 7. Для этого попробуем найти такое число x, чтобы:

5x ≡ 1 (mod 7)

Проверим значения x:

• При x = 1: 5 * 1 = 5 ≡ 5 (mod 7)
• При x = 2: 5 * 2 = 10 ≡ 3 (mod 7)
• При x = 3: 5 * 3 = 15 ≡ 1 (mod 7)

Таким образом, обратное число к 5 по модулю 7 равно 3. Теперь умножим обе стороны уравнения 5k ≡ 4 на 3:

k ≡ 12 (mod 7)

Упростим 12 по модулю 7:

12 ≡ 5 (mod 7)

Теперь мы можем выразить k:

k = 7m + 5, где m - целое число.

Теперь подставим это значение k обратно в выражение для a:

a = 5(7m + 5) + 4 a = 35m + 25 + 4 a = 35m + 29

Теперь мы видим, что a имеет вид:

a ≡ 29 (mod 35)

Таким образом, остаток при делении числа a на 35 равен 29.

Ответ: Остаток при делении числа a на 35 равен 29.