Для решения этой задачи мы воспользуемся свойствами деления и системой сравнений. Давайте рассмотрим условия по отдельности:

• Остаток от деления числа a на 5 равен 4. Это можно записать как:
a ≡ 4 (mod 5)
• Остаток от деления числа a на 7 равен 1. Это можно записать как:
a ≡ 1 (mod 7)

Теперь у нас есть система линейных сравнений:

• a ≡ 4 (mod 5)
• a ≡ 1 (mod 7)

Мы можем решить эту систему, используя метод подстановки. Начнем с первого уравнения:

Из первого уравнения мы можем выразить a:

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

Упростим это уравнение:

Так как -3 эквивалентно 4 по модулю 7 (прибавляем 7), мы можем записать:

Теперь мы можем найти обратное число к 5 по модулю 7. Для этого попробуем найти такое число x, чтобы:

Проверим значения x:

• При x = 1: 5 * 1 = 5 ≡ 5 (mod 7)
• При x = 2: 5 * 2 = 10 ≡ 3 (mod 7)
• При x = 3: 5 * 3 = 15 ≡ 1 (mod 7)

Таким образом, обратное число к 5 по модулю 7 равно 3. Теперь умножим обе стороны уравнения 5k ≡ 4 на 3:

Упростим 12 по модулю 7:

Теперь мы можем выразить k:

Теперь подставим это значение k обратно в выражение для a:

Теперь мы видим, что a имеет вид:

Таким образом, остаток при делении числа a на 35 равен 29.

Ответ: Остаток при делении числа a на 35 равен 29.