Какой предел нужно решить, если x стремится к 0 для выражения ((5x^2+4x-3)/(5x^2+x-3)) в степени (1/x)? Это задача из категории замечательных пределов.

Каков ответ на этот предел?

Алгебра 11 класс Замечательные пределы предел x стремится к 0 выражение замечательные пределы алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти предел выражения ((5x^2+4x-3)/(5x^2+x-3)) в степени (1/x) при x стремится к 0, давайте рассмотрим шаги решения.

1. Сначала подставим x = 0 в числитель и знаменатель:

• Числитель: 5(0)^2 + 4(0) - 3 = -3
• Знаменатель: 5(0)^2 + (0) - 3 = -3

Таким образом, мы получаем форму -3/-3 = 1.

2. Теперь рассмотрим предел:

lim (x -> 0) ((5x^2 + 4x - 3)/(5x^2 + x - 3))^(1/x)

Так как мы имеем 1 в степени, нам нужно использовать известный предел:

lim (x -> 0) (1 + f(x))^(g(x)) = e^(lim (x -> 0) f(x) * g(x)), если lim (x -> 0) f(x) = 0

3. Для этого нам нужно переписать наше выражение в удобном виде:

Обозначим:

f(x) = (5x^2 + 4x - 3)/(5x^2 + x - 3) - 1

Теперь найдем f(x):

f(x) = ((5x^2 + 4x - 3) - (5x^2 + x - 3)) / (5x^2 + x - 3) = (4x - x) / (5x^2 + x - 3) = 3x / (5x^2 + x - 3)

4. Теперь найдем g(x):

g(x) = 1/x

5. Таким образом, нам нужно вычислить:

lim (x -> 0) f(x) g(x) = lim (x -> 0) (3x / (5x^2 + x - 3)) (1/x)

Это упрощается до:

lim (x -> 0) (3 / (5x + 1 - 3/x))

6. При x стремящемся к 0, (3/x) стремится к бесконечности, и мы получаем:

lim (x -> 0) (3 / (-3/x)) = -1

7. Теперь подставляем это значение в формулу для предела:

lim (x -> 0) ((5x^2 + 4x - 3)/(5x^2 + x - 3))^(1/x) = e^(-1) = 1/e

Таким образом, окончательный ответ на предел:

1/e