Чтобы найти угол между двумя прямыми, заданными точками, сначала нам нужно определить векторы, которые представляют эти прямые. Прямые ab и cd можно представить вектором, соединяющим точки a и b, и вектором, соединяющим точки c и d.

1. **Найдем вектор ab.**

• Вектор ab = b - a = (3; -2; 2) - (3; -1; 3) = (3 - 3; -2 + 1; 2 - 3) = (0; -1; -1).

2. **Найдем вектор cd.**

• Вектор cd = d - c = (1; 2; 2) - (2; 2; 3) = (1 - 2; 2 - 2; 2 - 3) = (-1; 0; -1).

Теперь у нас есть два вектора:

• Вектор ab = (0; -1; -1)
• Вектор cd = (-1; 0; -1)

3. **Найдем скалярное произведение векторов ab и cd.**

• Скалярное произведение = (0 * -1) + (-1 * 0) + (-1 * -1) = 0 + 0 + 1 = 1.

4. **Найдем длины векторов ab и cd.**

• Длина вектора ab = √(0^2 + (-1)^2 + (-1)^2) = √(0 + 1 + 1) = √2.
• Длина вектора cd = √((-1)^2 + 0^2 + (-1)^2) = √(1 + 0 + 1) = √2.

5. **Используем формулу для нахождения угла между векторами.** Угол θ между двумя векторами можно найти по формуле:

cos(θ) = (скалярное произведение) / (длина первого вектора * длина второго вектора).

Подставим наши значения:

• cos(θ) = 1 / (√2 * √2) = 1 / 2.

6. **Найдем угол θ.**

• θ = arccos(1/2) = 60°.

Ответ: Угол между прямыми ab и cd равен 60°.