Привет! Давай разберемся с твоим вопросом. У нас есть закон угла вращения:

φ(t) = t + a*t²

И известно, что через 16 секунд скорость угла вращения составляет 33 рад/с. Скорость угла вращения можно найти, взяв производную от угла вращения по времени:

ω(t) = dφ/dt = 1 + 2*a*t

Теперь подставим 16 секунд и 33 рад/с в уравнение:

33 = 1 + 2*a*16

Решим это уравнение для a:

1. 33 - 1 = 2*a*16
2. 32 = 32*a
3. a = 1

Теперь подставим значение a обратно в закон угла вращения:

φ(t) = t + t²

Чтобы найти угол вращения за 16 секунд, подставим t = 16:

φ(16) = 16 + 16² = 16 + 256 = 272 рад

Теперь, чтобы найти время, через которое круг совершит первый оборот (2π рад),нужно решить уравнение:

t + t² = 2π

Это квадратное уравнение можно записать в виде:

t² + t - 2π = 0

Теперь используем формулу для решения квадратного уравнения:

t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае a = 1, b = 1, c = -2π:

t = (-1 ± √(1 + 8π)) / 2

Выбираем положительное значение:

t = (-1 + √(1 + 8π)) / 2

Вот и все! Мы нашли угол вращения и время первого оборота. Если есть еще вопросы, не стесняйся спрашивать!