Чтобы определить вид функции f(x) = x² + x³, давайте проанализируем её основные характеристики, такие как форма графика, поведение при различных значениях x и наличие экстремумов.

1. Определим степень и ведущий коэффициент:

• Функция представлена как сумма двух членов: x² и x³.
• Наибольшая степень у x³, поэтому функция является кубической.
• Ведущий коэффициент — 1 (при x³), что указывает на то, что график будет иметь характерный "S"-образный вид.

2. Найдем производную для анализа поведения функции:

1. Находим первую производную f'(x):
2. f'(x) = 2x + 3x².
3. Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
4. 0 = 2x + 3x².
5. Факторизуем: 0 = x(2 + 3x).
6. Получаем два решения: x = 0 и x = -2/3.

3. Определим, где функция возрастает или убывает:

• Для x < -2/3, f'(x) < 0 (функция убывает).
• Для -2/3 < x < 0, f'(x) > 0 (функция возрастает).
• Для x > 0, f'(x) > 0 (функция продолжает возрастать).

4. Найдем вторую производную для анализа выпуклости:

1. Вторая производная f''(x) = 2 + 6x.
2. Приравняем к нулю для нахождения точек перегиба:
3. 0 = 2 + 6x, отсюда x = -1/3.
4. Для x < -1/3, f''(x) < 0 (выпуклость вниз); для x > -1/3, f''(x) > 0 (выпуклость вверх).

5. Построение графика:

• Функция имеет минимум в точке x = -2/3 и точку перегиба в x = -1/3.
• График функции будет иметь "S"-образную форму, начиная с отрицательных значений, достигая минимума, а затем возрастая в обе стороны.

Таким образом, функция f(x) = x² + x³ представляет собой кубическую функцию с характерным "S"-образным графиком, с минимумом в точке x = -2/3 и точкой перегиба в x = -1/3.