2025-01-30 22:48:17
Многочлен x³ - 5x² - kx + 3 делится на двучлен x - 1 без остатка. Как, используя теорему Безу, можно определить остаток при делении этого многочлена на двучлен x + 2?
Алгебра 11 класс Теорема Безу многочлен деление двучлен теорема Безу остаток алгебра 11 класс
2025-01-30 22:48:25
Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Безу. Эта теорема утверждает, что если многочлен P(x) делится на двучлен (x - a), то P(a) = 0. В нашем случае мы знаем, что многочлен P(x) = x³ - 5x² - kx + 3 делится на (x - 1) без остатка. Это означает, что:
Шаг 1: Подставим a = 1 в многочлен P(x).По теореме Безу, мы можем найти значение k, подставив x = 1:
- P(1) = 1³ - 5(1)² - k(1) + 3 = 0.
- Это упростится до: 1 - 5 - k + 3 = 0.
- Соберем все числа: -1 - k = 0.
- Отсюда k = -1.
Таким образом, наш многочлен становится:
P(x) = x³ - 5x² + x + 3.
Шаг 3: Теперь найдем остаток при делении этого многочлена на (x + 2).Согласно теореме Безу, остаток при делении многочлена P(x) на (x + 2) будет равен P(-2):
- Подставим x = -2 в многочлен P(x):
- P(-2) = (-2)³ - 5(-2)² + (-2) + 3.
- Вычислим каждое слагаемое:
- (-2)³ = -8,
- -5(-2)² = -5(4) = -20,
- (-2) = -2,
- 3 = 3.
- Теперь сложим все результаты: -8 - 20 - 2 + 3 = -27.
Таким образом, остаток при делении многочлена x³ - 5x² + x + 3 на (x + 2) равен -27.
