2025-01-30 22:52:54
Многочлен x³-5x²-kx+3 делится на двучлен x-1 без остатка. Как, используя теорему Безу, можно определить остаток при делении этого многочлена на двучлен x + 2?
Алгебра 11 класс Деление многочленов. Теорема Безу многочлен деление двучлен теорема Безу остаток алгебра 11 класс
2025-01-30 22:53:05
Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Безу, которая утверждает, что если многочлен P(x) делится на двучлен (x - a) без остатка, то P(a) = 0.
В нашем случае многочлен P(x) = x³ - 5x² - kx + 3 делится на двучлен (x - 1) без остатка. Это означает, что:
- P(1) = 0.
Теперь подставим x = 1 в многочлен:
P(1) = 1³ - 5(1)² - k(1) + 3.
Упрощаем выражение:
P(1) = 1 - 5 - k + 3 = -1 - k.
Поскольку P(1) = 0, то мы можем записать уравнение:
-1 - k = 0.
Следовательно, k = -1.
Теперь у нас есть значение k, и мы можем записать многочлен в следующем виде:
P(x) = x³ - 5x² + x + 3.
Теперь найдем остаток при делении этого многочлена на двучлен (x + 2). Для этого мы снова воспользуемся теоремой Безу, но теперь подставим x = -2:
P(-2) = (-2)³ - 5(-2)² + (-2) + 3.
Упрощаем:
- P(-2) = -8 - 5(4) - 2 + 3.
- P(-2) = -8 - 20 - 2 + 3 = -27.
Таким образом, остаток при делении многочлена P(x) на двучлен (x + 2) равен -27.
В заключение, остаток при делении многочлена x³ - 5x² - kx + 3 на (x + 2) равен -27.
