Многочлен x³-5x²-kx+3 делится на двучлен x-1 без остатка. Как, используя теорему Безу, можно определить остаток при делении этого многочлена на двучлен x + 2?

Алгебра 11 класс Деление многочленов. Теорема Безу многочлен деление двучлен теорема Безу остаток алгебра 11 класс Новый

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Безу, которая утверждает, что если многочлен P(x) делится на двучлен (x - a) без остатка, то P(a) = 0.

В нашем случае многочлен P(x) = x³ - 5x² - kx + 3 делится на двучлен (x - 1) без остатка. Это означает, что:

• P(1) = 0.

Теперь подставим x = 1 в многочлен:

P(1) = 1³ - 5(1)² - k(1) + 3.

Упрощаем выражение:

P(1) = 1 - 5 - k + 3 = -1 - k.

Поскольку P(1) = 0, то мы можем записать уравнение:

-1 - k = 0.

Следовательно, k = -1.

Теперь у нас есть значение k, и мы можем записать многочлен в следующем виде:

P(x) = x³ - 5x² + x + 3.

Теперь найдем остаток при делении этого многочлена на двучлен (x + 2). Для этого мы снова воспользуемся теоремой Безу, но теперь подставим x = -2:

P(-2) = (-2)³ - 5(-2)² + (-2) + 3.

Упрощаем:

• P(-2) = -8 - 5(4) - 2 + 3.
• P(-2) = -8 - 20 - 2 + 3 = -27.

Таким образом, остаток при делении многочлена P(x) на двучлен (x + 2) равен -27.

В заключение, остаток при делении многочлена x³ - 5x² - kx + 3 на (x + 2) равен -27.