Можете, пожалуйста, подробно решить следующие задачи по алгебре:

1. Как решить выражение: 5^(1/2) * 18^(1/2) / 9^(1/3) * 2^(1/2) / (5^(1/2) * 9^(1/6))?
2. Как решить неравенство: (7x^2 + 6x - 1) / (5 - x) > 0?
3. Как решить уравнение: 2^(x+2) + 3 * 2^x = 56?
4. Как решить уравнение: 5 - 7sin(x) - 2cos^2(x) = 0?

Алгебра 11 класс Рациональные выражения и неравенства, уравнения с показательной и тригонометрической функциями алгебра 11 класс решение алгебраических задач неравенства и уравнения квадратные и тригонометрические уравнения математические выражения Новый

Давайте разберем каждую из задач по порядку.

1. Решение выражения: 5^(1/2) * 18^(1/2) / 9^(1/3) * 2^(1/2) / (5^(1/2) * 9^(1/6))

1. Сначала упростим числитель:
   • 5^(1/2) * 18^(1/2) = (5 * 18)^(1/2) = (90)^(1/2) = √90.
2. Теперь упростим знаменатель:
   • 9^(1/3) * 2^(1/2) * (5^(1/2) * 9^(1/6)) = (9^(1/3) * 2^(1/2) * 5^(1/2)) * 9^(1/6) = 9^(1/3 + 1/6) * 2^(1/2) * 5^(1/2).
   • Сначала найдем общий знаменатель для 3 и 6, это 6. Таким образом, 1/3 = 2/6, и 1/6 остается 1/6, и мы получаем: 9^(2/6 + 1/6) = 9^(3/6) = 9^(1/2) = √9 = 3.
3. Теперь подставим упрощенные части в выражение:
   • √90 / (3 * 2^(1/2) * 5^(1/2)).
4. Теперь упростим √90. Мы можем записать √90 как √(9 * 10) = 3√10.
5. Таким образом, у нас остается: 3√10 / (3 * 2^(1/2) * 5^(1/2)).
6. Сократим 3: √10 / (2^(1/2) * 5^(1/2)).
7. Теперь можем записать в виде: √10 / √(2 * 5) = √10 / √10 = 1.

Ответ: 1

2. Решение неравенства: (7x^2 + 6x - 1) / (5 - x) > 0

1. Сначала найдем нули числителя и знаменателя.
   • Для числителя: 7x^2 + 6x - 1 = 0. Используем дискриминант: D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 * 7 * (-1) = 36 + 28 = 64. Таким образом, x1,2 = (-b ± √D) / 2a = (-6 ± 8) / 14.
   • Получаем два корня: x1 = 2/7 и x2 = -1.
2. Для знаменателя: 5 - x = 0, отсюда x = 5.
3. Теперь у нас есть точки: x = -1, x = 2/7 и x = 5. Разделим числовую прямую на интервалы: (-∞, -1), (-1, 2/7), (2/7, 5), (5, +∞).
4. Проверим знак неравенства на каждом интервале:
   • На интервале (-∞, -1): например, x = -2: (7(-2)^2 + 6(-2) - 1) / (5 - (-2)) = (28 - 12 - 1) / 7 = 15/7 > 0.
   • На интервале (-1, 2/7): например, x = 0: (7(0)^2 + 6(0) - 1) / (5 - 0) = -1 / 5 < 0.
   • На интервале (2/7, 5): например, x = 1: (7(1)^2 + 6(1) - 1) / (5 - 1) = (7 + 6 - 1) / 4 = 12/4 > 0.
   • На интервале (5, +∞): например, x = 6: (7(6)^2 + 6(6) - 1) / (5 - 6) = (252 + 36 - 1) / (-1) < 0.
5. Таким образом, неравенство выполняется на интервалах: (-∞, -1) и (2/7, 5).

Ответ: x ∈ (-∞, -1) ∪ (2/7, 5)

3. Решение уравнения: 2^(x+2) + 3 * 2^x = 56

1. Сначала сделаем замену: пусть y = 2^x. Тогда 2^(x+2) = 4y. Уравнение можно переписать так: 4y + 3y = 56.
2. Соберем все вместе: 7y = 56.
3. Теперь найдем y: y = 56 / 7 = 8.
4. Возвращаемся к переменной x: 2^x = 8. Так как 8 = 2^3, то x = 3.

Ответ: x = 3

4. Решение уравнения: 5 - 7sin(x) - 2cos^2(x) = 0

1. Сначала используем тождество: cos^2(x) = 1 - sin^2(x). Подставим это в уравнение: 5 - 7sin(x) - 2(1 - sin^2(x)) = 0.
2. Раскроем скобки: 5 - 7sin(x) - 2 + 2sin^2(x) = 0.
3. Соберем все в одном уравнении: 2sin^2(x) - 7sin(x) + 3 = 0.
4. Теперь решим квадратное уравнение. Используем дискриминант: D = (-7)^2 - 4 * 2 * 3 = 49 - 24 = 25.
5. Находим корни: sin(x) = (7 ± 5) / 4. Таким образом, sin(x) = 3/4 или sin(x) = 1/2.
6. Теперь найдем x:
   • Для sin(x) = 3/4: x = arcsin(3/4) + 2kπ и x = π - arcsin(3/4) + 2kπ, где k - целое число.
   • Для sin(x) = 1/2: x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ.

Ответ: x = arcsin(3/4) + 2kπ, π - arcsin(3/4) + 2kπ, π/6 + 2kπ, 5π/6 + 2kπ (где k - целое число)