Можете, пожалуйста, решить интеграл (cos x + sin x)^2dx? Это очень необходимо!

Алгебра 11 класс Интегралы и неопределенные интегралы интеграл решение интеграла алгебра 11 класс (cos x + sin x)^2 интегрирование математический анализ алгебраические выражения Новый

Конечно! Давайте решим интеграл (cos x + sin x)² dx шаг за шагом.

Первый шаг — раскроем скобки в выражении (cos x + sin x)²:

1. (cos x + sin x)² = cos² x + 2sin x cos x + sin² x

Теперь вспомним, что по тригонометрической идентичности cos² x + sin² x = 1. Таким образом, мы можем упростить выражение:

1. cos² x + sin² x = 1
2. Итак, (cos x + sin x)² = 1 + 2sin x cos x

Теперь мы можем переписать наш интеграл:

∫(cos x + sin x)² dx = ∫(1 + 2sin x cos x) dx

Теперь разделим интеграл на две части:

∫(1 + 2sin x cos x) dx = ∫1 dx + ∫2sin x cos x dx

Решим первый интеграл:

1. ∫1 dx = x

Теперь решим второй интеграл. Мы можем использовать тригонометрическую идентичность для 2sin x cos x:

1. 2sin x cos x = sin(2x)

Таким образом, второй интеграл становится:

1. ∫2sin x cos x dx = ∫sin(2x) dx

Интеграл от sin(2x) равен:

1. ∫sin(2x) dx = -1/2 cos(2x) + C, где C — произвольная константа интегрирования.

Теперь мы можем собрать все вместе:

∫(cos x + sin x)² dx = x - 1/2 cos(2x) + C

Итак, окончательный ответ:

∫(cos x + sin x)² dx = x - 1/2 cos(2x) + C