На 17.14. Дана прямая с и две точки А и В, расположенные по разные стороны от нее (рис. 17.8). Как можно построить точку С на прямой с так, чтобы разность расстояний АС и АВ была максимальной?

Алгебра 11 класс Оптимизация расстояний алгебра 11 класс задача на построение максимальная разность расстояний точки А и В прямая с геометрия алгебры Новый

Для решения задачи о построении точки C на прямой с, чтобы разность расстояний AC и AB была максимальной, следуем следующему алгоритму:

1. Определим точки A и B: Пусть A и B - это две заданные точки, расположенные по разные стороны от прямой с. Обозначим расстояние от точки A до прямой с как dA, а от точки B до прямой с как dB.
2. Построим перпендикуляры: Проведем перпендикуляры из точек A и B на прямую с. Обозначим точки пересечения этих перпендикуляров с прямой с как A' и B' соответственно.
3. Анализируем расстояния: Теперь у нас есть два расстояния: AC = |A'C| и AB = |A'B|. Разность расстояний AC и AB можно записать как |AC - AB|.
4. Максимизация разности: Мы хотим максимизировать |AC - AB|. Для этого нужно рассмотреть два случая:
   • Когда C находится ближе к A, чем к B. В этом случае разность будет равна (AC - AB) = (dA - dB), что будет максимальным, если dA > dB.
   • Когда C находится ближе к B, чем к A. Здесь разность будет равна (AB - AC) = (dB - dA), что будет максимальным, если dB > dA.
5. Выбор точки C: Чтобы добиться максимальной разности, точка C должна находиться на прямой с так, чтобы:
   • Если dA > dB, то C должно быть расположено ближе к A' (перпендикуляр из A).
   • Если dB > dA, то C должно быть расположено ближе к B' (перпендикуляр из B).
6. Заключение: Таким образом, для максимизации разности расстояний AC и AB, необходимо выбрать точку C на прямой с, которая будет находиться ближе к той точке (A или B), расстояние до которой больше. Это обеспечит максимальную разность расстояний.