На рисунке изображена часть кривой y=корень3 sin x/2-3cos x/2, где x находится в интервале от 0. Абсцисса точки P обозначена как a.

Закрашенная область ограничена данной кривой, осью абсцисс и прямой x=a.

• (a) Какова абсцисса точки M?
• (b) Какое значение имеет a?
• (c) Какова площадь закрашенной части?

Алгебра 11 класс Интегралы и площади фигур под кривыми алгебра 11 класс кривая y=корень3 sin x/2 абсцисса точки P закрашенная область площадь закрашенной части Новый

Давайте разберем задачу по шагам.

(a) Какова абсцисса точки M?

Точка M является точкой, в которой кривая y=корень3 sin x/2-3cos x/2 пересекает ось абсцисс. Это происходит, когда y=0. Чтобы найти абсциссу точки M, нам нужно решить уравнение:

• корень3 sin x/2 - 3cos x/2 = 0

Переносим 3cos x/2 на правую сторону:

• корень3 sin x/2 = 3cos x/2

Делим обе стороны на cos x/2 (при условии, что cos x/2 не равен нулю):

• корень3 (sin x/2 / cos x/2) = 3

Используем определение тангенса:

• корень3 tan x/2 = 3

Теперь делим обе стороны на корень3:

• tan x/2 = 3 / корень3

Теперь находим x/2:

• x/2 = arctan(3 / корень3)

Умножаем на 2, чтобы найти x:

• x = 2 * arctan(3 / корень3)

Таким образом, абсцисса точки M равна:

• M = 2 * arctan(3 / корень3)

(b) Какое значение имеет a?

Значение a — это абсцисса точки P, которая также является границей интегрирования для нахождения площади закрашенной области. Обычно значение a находится в пределах, заданных в условии задачи, и может быть найдено так же, как и M, если указаны конкретные условия или дополнительные точки пересечения с осью абсцисс.

Если в условии задачи указано, что a = M, то:

• a = 2 * arctan(3 / корень3)

Если a задано отдельно, то нужно использовать его значение.

(c) Какова площадь закрашенной части?

Площадь закрашенной области можно найти, используя интеграл от функции до оси абсцисс на интервале от 0 до a:

• Площадь = ∫(от 0 до a) (корень3 sin x/2 - 3cos x/2) dx

Теперь вычислим этот интеграл:

1. Интегрируем каждую часть:
• ∫(корень3 sin x/2) dx = -2 * корень3 cos x/2
• ∫(-3cos x/2) dx = -6 sin x/2
2. Теперь подставляем пределы интегрирования от 0 до a:

Площадь = [-2 * корень3 cos x/2 - 6 sin x/2] (от 0 до a)

Подставляем a и 0 в выражение и вычитаем:

• Площадь = [-2 * корень3 cos(a/2) - 6 sin(a/2)] - [-2 * корень3 cos(0) - 6 sin(0)]

Так как cos(0) = 1 и sin(0) = 0, получаем:

• Площадь = -2 * корень3 cos(a/2) - 6 sin(a/2) + 2 * корень3

Это и будет искомая площадь закрашенной области.