Для решения уравнения √(x^4 - 2x - 5) = 1 - x, начнем с того, что обе стороны уравнения должны быть неотрицательными. Это означает, что:

• 1 - x ≥ 0, что дает x ≤ 1.
• Также необходимо, чтобы под корнем было неотрицательное выражение: x^4 - 2x - 5 ≥ 0.

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

x^4 - 2x - 5 = (1 - x)^2.

Раскроем правую часть уравнения:

(1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2.

Теперь у нас есть:

x^4 - 2x - 5 = 1 - 2x + x^2.

Переносим все члены в одну сторону:

x^4 - x^2 + 2x - 6 = 0.

Теперь у нас есть многочлен 4-й степени. Чтобы найти количество корней, можно воспользоваться теорией о количестве корней многочлена. Для этого определим, как ведет себя функция f(x) = x^4 - x^2 + 2x - 6.

Для нахождения корней можно использовать метод проб и ошибок или графический метод. Рассмотрим производную функции:

f'(x) = 4x^3 - 2x + 2.

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

4x^3 - 2x + 2 = 0.

Решение этого уравнения может быть сложным, но можно оценить поведение функции. Заметим, что:

• f(-∞) → +∞,
• f(1) = 1 - 1 + 2 - 6 = -4,
• f(2) = 16 - 4 + 4 - 6 = 10.

Таким образом, между -∞ и 1 функция меняет знак, и между 1 и 2 она также меняет знак. Это говорит о том, что у нас есть по крайней мере два корня.

Теперь нам нужно проверить, сколько из этих корней удовлетворяют условиям, которые мы установили в начале (x ≤ 1 и x^4 - 2x - 5 ≥ 0).

Решив уравнение f(x) = 0, мы можем использовать численные методы или графический анализ, чтобы найти точные значения корней и проверить, сколько из них удовлетворяют условиям.

Итак, подытожим:

• Уравнение имеет 2 корня, которые находятся в интервале, удовлетворяющем условиям.
• Следовательно, у уравнения √(x^4 - 2x - 5) = 1 - x есть 2 корня.