Для нахождения функции y = f(x) по заданной производной f'(x) и точке M мы будем следовать следующим шагам:

1. Интегрировать производную: Найдем первообразную функции f(x) по производной f'(x).
2. Добавить константу интегрирования: После интеграции мы получим общее решение с константой C.
3. Использовать точку M для нахождения C: Подставим координаты точки M в полученное уравнение, чтобы найти значение константы C.
4. Записать окончательное уравнение функции: Подставим найденное значение C обратно в уравнение функции.

Теперь давайте применим эти шаги к каждому из случаев.

1. f'(x) = 2x - 1, M(2;3)

1. Интегрируем: f(x) = ∫(2x - 1)dx = x^2 - x + C.
2. Подставляем точку M(2;3): 3 = (2)^2 - 2 + C → 3 = 4 - 2 + C → 3 = 2 + C → C = 1.
3. Окончательная функция: f(x) = x^2 - x + 1.

2. f'(x) = 3x^2 - 3, M(1;2)

1. Интегрируем: f(x) = ∫(3x^2 - 3)dx = x^3 - 3x + C.
2. Подставляем точку M(1;2): 2 = (1)^3 - 3(1) + C → 2 = 1 - 3 + C → 2 = -2 + C → C = 4.
3. Окончательная функция: f(x) = x^3 - 3x + 4.

3. f'(x) = 6/x^3, M(1;4)

1. Интегрируем: f(x) = ∫(6/x^3)dx = -2/x^2 + C.
2. Подставляем точку M(1;4): 4 = -2/(1^2) + C → 4 = -2 + C → C = 6.
3. Окончательная функция: f(x) = -2/x^2 + 6.

4. f'(x) = 3 - x^2, M(6;1)

1. Интегрируем: f(x) = ∫(3 - x^2)dx = 3x - (1/3)x^3 + C.
2. Подставляем точку M(6;1): 1 = 3(6) - (1/3)(6^3) + C → 1 = 18 - 72 + C → 1 = -54 + C → C = 55.
3. Окончательная функция: f(x) = 3x - (1/3)x^3 + 55.

5. f'(x) = 6x^2 + 12√x, M(4;10)

1. Интегрируем: f(x) = ∫(6x^2 + 12√x)dx = 2x^3 + 8x^(3/2) + C.
2. Подставляем точку M(4;10): 10 = 2(4^3) + 8(4^(3/2)) + C → 10 = 2(64) + 8(8) + C → 10 = 128 + 64 + C → 10 = 192 + C → C = -182.
3. Окончательная функция: f(x) = 2x^3 + 8x^(3/2) - 182.

Таким образом, мы нашли функции для всех заданных производных и точек M.