Не получается избавиться от неопределенности в пределе.

lim стремится к 9

Как решить предел: (3 - √x) / (√(x-5) - 2), если при подстановке 9 получается [0/0]?

Я домножал на сопряженный множитель числитель и знаменатель, но все равно получаю неопределенность.

Алгебра 11 класс Пределы и непрерывность функций предел неопределенность алгебра 11 решение предела сопряженный множитель лимит математика дробь подстановка корень алгебраические выражения Новый

Чтобы решить предел lim (x → 9) (3 - √x) / (√(x - 5) - 2, начнем с того, что при подстановке x = 9 действительно получаем неопределенность вида 0/0. Это значит, что нам нужно преобразовать выражение, чтобы избавиться от этой неопределенности.

Вы уже правильно заметили, что можно использовать сопряженный множитель. Давайте рассмотрим это подробнее:

1. Сначала запишем выражение: (3 - √x) / (√(x - 5) - 2).
2. Теперь, чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим и числитель, и знаменатель на сопряженный множитель (√(x - 5) + 2: (3 - √x)(√(x - 5) + 2) / ((√(x - 5) - 2)(√(x - 5) + 2)).
3. Теперь упростим знаменатель: (√(x - 5))^2 - 2^2 = x - 5 - 4 = x - 9.
4. Теперь подставим это в выражение: (3 - √x)(√(x - 5) + 2) / (x - 9).

Теперь мы видим, что при x = 9, и числитель, и знаменатель стремятся к нулю, что снова дает неопределенность. Однако, мы можем попробовать упростить числитель.

1. В числителе у нас (3 - √x). Мы можем попытаться выразить это через (x - 9): 3 - √x = (3 - √9) + (√9 - √x) = 0 + (3 - √x).
2. Теперь, чтобы упростить (3 - √x), мы можем использовать формулу разности квадратов: 3 - √x = (3 - √9)(3 + √9) / (3 + √9) = 0 / (3 + √9) = 0.
3. Теперь, если мы подставим это обратно в предел, мы увидим, что числитель становится: (3 - √x)(√(x - 5) + 2) = (3 - √9)(√(9 - 5) + 2) = 0.

Теперь, если мы упростим предел, получим:

lim (x → 9) (3 - √x)(√(x - 5) + 2) / (x - 9) = lim (x → 9) (3 - √x) / (x - 9) * (√(x - 5) + 2).

Таким образом, мы можем использовать правило Лопиталя, так как у нас по-прежнему неопределенность 0/0:

1. Находим производную числителя: -1/(2√x), а производная знаменателя: 1.
2. Теперь применим правило Лопиталя: lim (x → 9) -1/(2√x) = -1/(2√9) = -1/6.

Таким образом, предел lim (x → 9) (3 - √x) / (√(x - 5) - 2) = -1/6.