Шаг 1. Классификация уравнения (характер вторичного члена).

Запишем вторую часть в стандартном виде A u_xx + 2B u_xy + C u_yy, где

• A = x^2,
• B = x y,
• C = -3 y^2.

Дискриминант D = B^2 - A C = x^2 y^2 - x^2(-3 y^2) = 4 x^2 y^2 = (2 x y)^2 > 0 при x y ≠ 0. Значит уравнение гиперболическое (в области, где x y ≠ 0).

Шаг 2. Характеристики и выбор новых переменных.

Уравнение характеристик даётся квадратным уравнением для p = dy/dx:

A p^2 - 2 B p + C = 0.

Подставляем A,B,C: x^2 p^2 - 2 x y p - 3 y^2 = 0. Решая, получаем

p = (B ± sqrt(B^2 - A C)) / A = (x y ± 2 x y) / x^2 = y(1 ± 2)/x.

Следовательно два семейства характеристик задаются ОДУ:

• dy/dx = 3 y / x → интегрирование даёт y = C1 x^3 → первая инварианта ξ = y / x^3;
• dy/dx = - y / x → интегрирование даёт y = C2 / x → вторая инварианта η = x y.

Берём в качестве новых независимых переменных

• ξ = y / x^3,
• η = x y.

По конструкции ξ = const и η = const — это два семейства характеристик, значит в этих переменных главная часть уравнения сведётся к смешанному производному u_{ξη} (канонический вид для гиперболического уравнения).

Шаг 3. Переписывание производных по правилу цепочки.

Вычислим частные производные ξ и η:

• ξ_x = -3 ξ / x, ξ_y = ξ / y;
• η_x = η / x, η_y = η / y.

По цепному правилу обозначим p = u_ξ, q = u_η. Тогда

• u_x = (1/x)(-3 ξ p + η q),
• u_y = (1/y)( ξ p + η q ).

Далее вычисляем вторые производные (кратко показываю промежуточные шаги и результат):

• u_xx = (12 ξ p)/x^2 - (1/x)(3 ξ p_x - η q_x),
• u_xy = (1/(x y))(-3 ξ p + η q) + (1/x)( -3 ξ p_y + η q_y ),
• u_yy = (1/y)( ξ p_y + η q_y ).

Шаг 4. Подстановка в главную часть и приведение к смешанному производному.

Подставляем в A u_xx + 2B u_xy + C u_yy (A=x^2, 2B=2xy, C=-3y^2). После упрощения (сверки членов) получаем для второй части выражение

-16 ξ η u_{ξη} + 6 ξ u_ξ + 2 η u_η.

Учтём теперь первые-порядковые члены из исходного уравнения: -2 x u_x + 4 y u_y. Подставляя выражения для u_x, u_y, получаем

-2 x u_x + 4 y u_y = 10 ξ u_ξ + 2 η u_η.

Сложив вклад главной части и вклад первых порядков, суммарные члены первого порядка равны (6 ξ + 10 ξ) u_ξ + (2 η + 2 η) u_η = 16 ξ u_ξ + 4 η u_η.

Итого полное уравнение в переменных ξ, η принимает вид

-16 ξ η u_{ξη} + 16 ξ u_ξ + 4 η u_η + 16 x^9 u = 0.

Шаг 5. Нормировка до канонического вида и выражение x через ξ, η.

Разделим на -16 ξ η (чтобы получить стандартный коэффициент у смешанного производного): после умножения на -1 и деления на 16 ξ η получаем

u_{ξη} - (u_ξ)/η - (u_η)/(4 ξ) - (x^9)/(ξ η) u = 0.

Чтобы правая часть выражалась только через ξ и η, подставим связь между x, ξ и η. Из определения η = x y и ξ = y / x^3 следует η = ξ x^4, поэтому

x^4 = η / ξ ⇒ x = (η / ξ)^{1/4}.

Следовательно

x^9 = (η / ξ)^{9/4} и

(x^9)/(ξ η) = (η^{9/4})/(ξ^{9/4}) · 1/(ξ η) = η^{5/4} / ξ^{13/4}.

Итоговый канонический вид (в переменных ξ, η) можно записать, например, как

u_{ξη} - (1/η) u_ξ - (1/(4 ξ)) u_η - (η^{5/4} / ξ^{13/4}) u = 0,

Шаг 1. Классификация уравнения (главная часть).

Уравнение имеет главную часть a u_xx + 2b u_xy + c u_yy с коэффициентами a = x^2, b = x y, c = -3 y^2. Рассчитаем дискриминант:

b^2 - a c = x^2 y^2 - x^2 (-3 y^2) = 4 x^2 y^2 > 0 при x ≠ 0, y ≠ 0. Значит, уравнение гиперболическое (в области x ≠ 0, y ≠ 0).

Шаг 2. Характеристики.

Уравнение характеристик для главной части задаётся как

x^2 (dy)^2 - 2 x y dx dy - 3 y^2 (dx)^2 = 0.

Поделив на (dx)^2 и обозначив p = dy/dx, получаем квадратичное уравнение

x^2 p^2 - 2 x y p - 3 y^2 = 0,

решая получаем p = 3 y / x или p = - y / x. Интегрируя получаем два независимых интеграла-характеристики:

• для p = 3 y / x: ln y = 3 ln x + const ⇒ y / x^3 = const;
• для p = - y / x: ln y = - ln x + const ⇒ x y = const.

Шаг 3. Выбор новых переменных.

Возьмём новые координаты по характеристикам

ξ = y / x^3, η = x y.

Тогда ξ = const и η = const — линии характеристик.

Шаг 4. Преобразование главной части (каноническая форма).

Обозначим частные производные новых переменных: ξ_x = -3 y / x^4, ξ_y = 1 / x^3, η_x = y, η_y = x. Пусть p = ξ_x, q = ξ_y, r = η_x, s = η_y. Для главной части в новых переменных коэффициент при u_{ξη} равен

K = a·2pr + 2b·(p s + q r) + c·2 q s.

Подставляя a, b, c и p,q,r,s, получаем

K = -16 y^2 / x^2.

Таким образом главная часть приводится к виду K( x,y ) · u_{ξη} (а члены при u_{ξξ} и u_{ηη} обращаются в ноль, поскольку ξ и η — характеристики).

Шаг 5. Преобразование всего уравнения и нормировка.

Переходя к полному уравнению и собирая члены первого порядка, получаем (после расчётов) в переменных ξ, η уравнение

K u_{ξη} + A(x,y) u_ξ + B(x,y) u_η + 16 x^9 u = 0,

где A(x,y) = 16 y / x^3, B(x,y) = 4 x y, K = -16 y^2 / x^2.

Разделив уравнение на K, нормируем коэффициент при u_{ξη} до 1. Получаем каноническую форму

u_{ξη} + (A/K) u_ξ + (B/K) u_η + (16 x^9 / K) u = 0.

Подставим отношения и упростим дроби (учитывая y = η / x и x^4 = η / ξ):

• A/K = (16 y / x^3)/(-16 y^2 / x^2) = -1/η;
• B/K = (4 x y)/(-16 y^2 / x^2) = - x^3/(4 y) = -1/(4 ξ) (так как x^3/(y) = x^4/η = (η/ξ)/η = 1/ξ);
• 16 x^9 / K = - x^11 / y^2 = - η^{5/4} / ξ^{13/4} (если выразить через ξ, η с помощью x^4 = η/ξ).

Итог. Каноническая форма в переменных ξ, η:

u_{ξη} - (1/η) u_ξ - (1/(4 ξ)) u_η - (η^{5/4} / ξ^{13/4}) u = 0, для ξ = y/x^3, η = x y, x ≠ 0, y ≠ 0.

Замечания.

• Можно оставить последний коэффициент в более компактном виде через x,y: коэффициент при u равен - x^11 / y^2; при необходимости его переводят в функции ξ,η через x^4 = η/ξ.
• Полученная форма — каноническая гиперболическая: в новых переменных старшие производные сводятся к единственному смешанному u_{ξη} с коэффициентом 1.

Разберём уравнение

x^2 u_xx + 2 x y u_xy - 3 y^2 u_yy - 2 x u_x + 4 y u_y + 16 x^9 u = 0

1. Классификация по типу.

   В стандарте A u_xx + 2B u_xy + C u_yy = 0 имеем A = x^2, 2B = 2 x y => B = x y, C = -3 y^2. Дискриминант

   D = B^2 - A C = (x y)^2 - x^2(-3 y^2) = 4 x^2 y^2 > 0 при xy ≠ 0.

   Значит уравнение гиперболическое (за исключением осей).

2. Характеристики.

   Уравнение характеристик: A (dy/dx)^2 - 2B (dy/dx) + C = 0, откуда

   dy/dx = (B ± sqrt(D)) / A = (x y ± 2 x y) / x^2 = y(1 ± 2)/x.

   Получаем два семейства:

   • dy/dx = 3 y / x ⇒ ln y = 3 ln x + const ⇒ y = C x^3 ⇒ инвариант η = y / x^3;
   • dy/dx = - y / x ⇒ ln y = - ln x + const ⇒ y = C / x ⇒ инвариант ξ = x y.

   Поэтому введём новые переменные (характеристические координаты)

   α = ξ = x y, β = η = y / x^3.

3. Преобразование главной части.

   По правилу преобразования главной части коэффициент при u_{αα} и u_{ββ} обращаются в ноль (по построению), а смешанный член равен

   -16 α β u_{αβ}.

   Т.е. при переменных α,β слагаемые второй производной дают

   -16 α β u_{αβ}.

4. Преобразование первых производных и свободного члена.

   Через α,β имеем (по простому вычислению):

   • -2 x u_x + 4 y u_y = 2 α u_α + 10 β u_β,
   • и оставшийся член 16 x^9 u остаётся 16 x^9 u (его надо выразить через α,β при необходимости).

   Итого в переменных α,β уравнение принимает вид

   -16 α β u_{αβ} + 2 α u_α + 10 β u_β + 16 x^9 u = 0.

5. Нормировка до канонического вида.

   Чтобы получить канонический вид с коэффициентом 1 при смешанной производной, удобнее ввести новые переменные, зависящие отдельно от α и β:

   s = (1/4) ln α = (1/4) ln(x y), t = -(1/4) ln β = (1/4) ln(x^3 / y).

   Тогда с учётом s_α = 1/(4α), t_β = -1/(4β) имеем

   -16 α β u_{αβ} = u_{st},

   2 α u_α = (1/2) u_s, 10 β u_β = - (5/2) u_t,

   и x = e^{s+t} ⇒ x^9 = e^{9(s+t)}.

   В результате уравнение в переменных s,t (канонический вид) принимает вид

   u_{st} + (1/2) u_s - (5/2) u_t + 16 e^{9(s+t)} u = 0.

   Здесь s = (1/4) ln(x y), t = (1/4) ln(x^3 / y) (и s+t = ln x).

Итак, канонический вид уравнения (в характеристических координатах s,t) —

u_{st} + (1/2) u_s - (5/2) u_t + 16 e^{9(s+t)} u = 0.

Комментарий: шаги включают классификацию, интегрирование характеристик α = x y, β = y/x^3, преобразование коэффициентов и дополнительную нормировку переменных s,t = ±(1/4) ln α,β, позволяющую получить коэффициент 1 перед u_{st}.