Помогите, пожалуйста, используя правило Лопиталя, найти предел выражения: lnx/lnsinx.

Алгебра 11 класс Правило Лопиталя предел выражения правило Лопиталя алгебра 11 класс lnx lnsinx нахождение предела математический анализ Новый

Чтобы найти предел выражения lnx/ln(sinx) при x, стремящемся к 0, мы сначала должны определить, в какую форму переходит это выражение. Подставим x = 0:

• ln(0) стремится к -∞,
• ln(sin(0)) = ln(0) тоже стремится к -∞.

Таким образом, мы имеем неопределенность вида -∞/-∞, что позволяет нам применить правило Лопиталя.

Правило Лопиталя гласит, что если у нас есть предел вида 0/0 или ∞/∞, мы можем взять производные числителя и знаменателя и затем снова вычислить предел. В нашем случае:

1. Найдем производную числителя: (d/dx) ln(x) = 1/x.
2. Найдем производную знаменателя: (d/dx) ln(sin(x)) = (1/sin(x)) * cos(x) = cos(x)/sin(x) = cot(x).

Теперь можем записать новый предел:

lim (x -> 0) ln(x)/ln(sin(x)) = lim (x -> 0) (1/x) / (cot(x)).

Преобразуем это выражение:

lim (x -> 0) (1/x) / (cot(x)) = lim (x -> 0) (1/x) * (sin(x)/cos(x)) = lim (x -> 0) (sin(x)/x).

Известно, что lim (x -> 0) (sin(x)/x) = 1. Таким образом, мы можем подставить это значение:

lim (x -> 0) (sin(x)/x) = 1.

Теперь подставим это значение в наш предел:

lim (x -> 0) ln(x)/ln(sin(x)) = 1.

Таким образом, предел выражения ln(x)/ln(sin(x)) при x, стремящемся к 0, равен 1.