Помогите пожалуйста исследовать функцию на монотонность и экстремумы y=2x^3+x^2-8x-7
Алгебра 11 класс Исследование функции на монотонность и экстремумы функция монотонность исследование функции экстремумы функции производная функции анализ функции график функции алгебра y=2x^3+x^2-8x-7 Новый
Привет! Давай вместе разберёмся с этой функцией. Нам нужно исследовать её на монотонность и найти экстремумы.
Находим производную: Для начала, давай найдем первую производную функции y. Это поможет нам понять, где функция возрастает или убывает.
y' = 6x^2 + 2x - 8
Находим критические точки: Теперь нам нужно найти, где производная равна нулю. То есть решим уравнение:
6x^2 + 2x - 8 = 0
Это квадратное уравнение. Мы можем использовать дискриминант:
D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 6 (-8) = 4 + 192 = 196
Теперь находим корни:
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = ( -2 + 14 ) / 12 = 1 x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = ( -2 - 14 ) / 12 = -4/3
Определяем интервалы: Теперь у нас есть критические точки x1 = 1 и x2 = -4/3. Эти точки делят числовую ось на три интервала:
Тестируем знаки производной: Теперь нужно выбрать тестовые точки из каждого интервала и подставить их в производную, чтобы определить знак.
Для (-∞, -4/3), например, x = -2: y'(-2) = 6(-2)^2 + 2(-2) - 8 = 24 - 4 - 8 = 12 (положительная)
Для (-4/3, 1), например, x = 0: y'(0) = 6(0)^2 + 2(0) - 8 = -8 (отрицательная)
Для (1, +∞), например, x = 2: y'(2) = 6(2)^2 + 2(2) - 8 = 24 + 4 - 8 = 20 (положительная)
Результаты: Теперь мы можем сделать выводы о монотонности:
Экстремумы: Теперь, когда мы знаем, где функция меняет направление, можем сказать, что:
Вот так мы исследовали функцию на монотонность и нашли экстремумы! Если что-то непонятно, спрашивай!