Помогите пожалуйста исследовать функцию на монотонность и экстремумы y=2x^3+x^2-8x-7

Алгебра 11 класс Исследование функции на монотонность и экстремумы функция монотонность исследование функции экстремумы функции производная функции анализ функции график функции алгебра y=2x^3+x^2-8x-7 Новый

Привет! Давай вместе разберёмся с этой функцией. Нам нужно исследовать её на монотонность и найти экстремумы.

1. Находим производную: Для начала, давай найдем первую производную функции y. Это поможет нам понять, где функция возрастает или убывает.

   y' = 6x^2 + 2x - 8

2. Находим критические точки: Теперь нам нужно найти, где производная равна нулю. То есть решим уравнение:

   6x^2 + 2x - 8 = 0

   Это квадратное уравнение. Мы можем использовать дискриминант:

   D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 6 (-8) = 4 + 192 = 196

   Теперь находим корни:

   x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = ( -2 + 14 ) / 12 = 1 x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = ( -2 - 14 ) / 12 = -4/3

3. Определяем интервалы: Теперь у нас есть критические точки x1 = 1 и x2 = -4/3. Эти точки делят числовую ось на три интервала:

   • (-∞, -4/3)
   • (-4/3, 1)
   • (1, +∞)

4. Тестируем знаки производной: Теперь нужно выбрать тестовые точки из каждого интервала и подставить их в производную, чтобы определить знак.

   • Для (-∞, -4/3), например, x = -2: y'(-2) = 6(-2)^2 + 2(-2) - 8 = 24 - 4 - 8 = 12 (положительная)

   • Для (-4/3, 1), например, x = 0: y'(0) = 6(0)^2 + 2(0) - 8 = -8 (отрицательная)

   • Для (1, +∞), например, x = 2: y'(2) = 6(2)^2 + 2(2) - 8 = 24 + 4 - 8 = 20 (положительная)

5. Результаты: Теперь мы можем сделать выводы о монотонности:

   • На интервале (-∞, -4/3) функция возрастает.
   • На интервале (-4/3, 1) функция убывает.
   • На интервале (1, +∞) функция снова возрастает.

6. Экстремумы: Теперь, когда мы знаем, где функция меняет направление, можем сказать, что:

   • В точке x = -4/3 у нас максимум (поскольку до этого функция возрастала, а после убывает).
   • В точке x = 1 у нас минимум (поскольку до этого убывала, а после возрастает).

Вот так мы исследовали функцию на монотонность и нашли экстремумы! Если что-то непонятно, спрашивай!