Чтобы решить первую задачу, мы должны определить, при каких значениях параметра a квадратное уравнение имеет ровно один корень. Уравнение имеет ровно один корень, если его дискриминант равен нулю.

Дискриминант D квадратного уравнения ax² + bx + c равен D = b² - 4ac. В нашем случае:

• a = 2a
• b = 10 - a
• c = -a + 5

Теперь подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

D = (10 - a)² - 4(2a)(-a + 5).

Раскроем скобки:

D = (10 - a)² + 8a(a - 5).

Теперь упростим это выражение:

D = (100 - 20a + a²) + (8a² - 40a) = 9a² - 60a + 100.

Теперь, чтобы уравнение имело ровно один корень, приравняем дискриминант к нулю:

9a² - 60a + 100 = 0.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D' = (-60)² - 4 * 9 * 100 = 3600 - 3600 = 0.

Так как D' = 0, уравнение имеет один корень:

a = -(-60) / (2 * 9) = 60 / 18 = 10/3.

Таким образом, значение параметра a, при котором уравнение имеет ровно один корень, равно 10/3.

Теперь перейдем ко второй задаче. Нам нужно найти все значения параметра a, при которых прямые параллельны. Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны.

Запишем уравнения обеих прямых:

• Первая прямая: (a + 8)x + (a² - 1)y - 2 = 0.
• Вторая прямая: 2x + y - 4 = 0.

Приведем каждую из прямых к общему виду y = mx + b, где m - угловой коэффициент.

Для второй прямой:

y = -2x + 4, угловой коэффициент m2 = -2.

Для первой прямой:

(a² - 1)y = - (a + 8)x + 2,

y = -((a + 8) / (a² - 1))x + (2 / (a² - 1)).

Угловой коэффициент первой прямой:

m1 = -((a + 8) / (a² - 1)).

Приравняем угловые коэффициенты:

-((a + 8) / (a² - 1)) = -2.

Убираем минус:

(a + 8) / (a² - 1) = 2.

Теперь умножим обе стороны на (a² - 1) (при условии, что a² - 1 не равно 0):

a + 8 = 2(a² - 1).

Раскроем скобки:

a + 8 = 2a² - 2.

Переносим все в одну сторону:

2a² - a - 10 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-1)² - 4 * 2 * (-10) = 1 + 80 = 81.

Корни уравнения:

a = (1 ± √81) / (2 * 2) = (1 ± 9) / 4.

Таким образом, получаем два значения:

• a = (10) / 4 = 2.5,
• a = (-8) / 4 = -2.

Итак, прямые будут параллельны при a = 2.5 и a = -2.