Помогите пожалуйста решить!

На промежутке [0;3] уравнение √(x^2 + 2x + 1) - |x - 4| = 2 имеет корень?

Алгебра 11 класс Уравнения с корнями и модулями алгебра 11 класс уравнение корень промежуток решение уравнения квадратный корень модуль математический анализ Новый

Давайте решим уравнение √(x² + 2x + 1) - |x - 4| = 2 шаг за шагом.

Сначала упростим выражение √(x² + 2x + 1). Заметим, что x² + 2x + 1 можно представить как (x + 1)². Таким образом, у нас получается:

√(x² + 2x + 1) = √((x + 1)²) = |x + 1|.

Теперь подставим это в уравнение:

|x + 1| - |x - 4| = 2.

Теперь нам нужно рассмотреть два случая для выражения |x + 1|, так как оно зависит от знака (x + 1):

1. Случай 1: x + 1 ≥ 0 (или x ≥ -1). В этом случае |x + 1| = x + 1.
2. Случай 2: x + 1 < 0 (или x < -1). В этом случае |x + 1| = -(x + 1) = -x - 1.

Теперь также рассмотрим два случая для |x - 4|:

1. Случай 1: x - 4 ≥ 0 (или x ≥ 4). В этом случае |x - 4| = x - 4.
2. Случай 2: x - 4 < 0 (или x < 4). В этом случае |x - 4| = -(x - 4) = -x + 4.

Теперь мы можем рассмотреть все возможные комбинации случаев:

1. Случай 1.1: x ≥ -1 и x ≥ 4.

Уравнение становится:

(x + 1) - (x - 4) = 2.

Упрощаем:

1 + 4 = 2, что неверно.

2. Случай 1.2: x ≥ -1 и x < 4.

Уравнение становится:

(x + 1) - (-x + 4) = 2.

Упрощаем:

x + 1 + x - 4 = 2.

2x - 3 = 2.

2x = 5.

x = 2.5.

Проверяем: 2.5 лежит в промежутке [0; 3].

3. Случай 2.1: x < -1 и x ≥ 4.

Этот случай невозможен, так как x не может быть одновременно меньше -1 и больше или равно 4.

4. Случай 2.2: x < -1 и x < 4.

Уравнение становится:

(-x - 1) - (-x + 4) = 2.

Упрощаем:

-x - 1 + x - 4 = 2.

-5 = 2, что неверно.

Таким образом, единственное решение, которое мы нашли, это x = 2.5, и оно лежит в промежутке [0; 3].

Ответ: Да, у уравнения есть корень на промежутке [0; 3], это x = 2.5.