Давайте разберем вашу задачу по шагам.

a) Как показать, что f(x) = x + (ab)^(1/2) + b, где a и b - постоянные?

Для начала упростим функцию f(x). Исходная функция выглядит так:

f(x) = (x √x + 2 √2) / (√x + √2).

Первым делом, мы можем разделить числитель на знаменатель:

1. Запишем числитель: x √x + 2 √2.
2. Разделим каждый член числителя на √x + √2:

f(x) = (x √x) / (√x + √2) + (2 √2) / (√x + √2).

Теперь упростим каждый из этих дробей.

• Первая дробь:

  (x √x) / (√x + √2) = x - (x √2) / (√x + √2).

• Вторая дробь:

  (2 √2) / (√x + √2).

Теперь, чтобы объединить эти дроби, нам нужно привести их к общему знаменателю и упростить. После упрощения мы получим выражение, которое можно будет сопоставить с x + (ab)^(1/2) + b. Вам нужно будет выбрать a и b так, чтобы они соответствовали полученному результату.

b) Как найти производную f'(x)?

Чтобы найти производную функции f(x),воспользуемся правилом производной для дроби:

Если u(x) и v(x) - функции, то производная их дроби (u/v)' = (u'v - uv') / v².

В нашем случае:

• u(x) = x √x + 2 √2,
• v(x) = √x + √2.

Теперь найдем производные u' и v':

• u' = (3/2) x^(1/2) + 0 (производная константы равна 0),
• v' = (1/2) x^(-1/2).

Теперь подставим все в формулу для производной:

f'(x) = (u'v - uv') / v².

Подставив u, u', v, и v', мы получим f'(x).

c) Как вычислить f'(2)?

После того как вы нашли выражение для f'(x),подставьте x = 2 в полученную производную:

f'(2) = (u'(2)v(2) - u(2)v'(2)) / v(2)².

Вам нужно будет вычислить значения u(2),v(2),u'(2) и v'(2),и подставить их в формулу.

Таким образом, вы получите значение производной в точке x = 2.

Если у вас возникнут трудности с расчетами или упрощениями, дайте знать, и я помогу вам с конкретными шагами!