При каких значениях параметра a функция y=5/3ax^3-30x^2+5(a+9)x-7 возрастает на всей числовой прямой?

Алгебра 11 класс Анализ функций и исследование их свойств алгебра 11 класс функция параметры возрастает числовая прямая y=5/3ax^3-30x^2+5(a+9)x-7 анализ функции производная условия возрастания математический анализ Новый

Рассмотрим функцию y = (5/3)ax^3 - 30x^2 + 5(a + 9)x - 7. Чтобы определить, при каких значениях параметра a функция возрастает на всей числовой прямой, нам необходимо изучить её производную.

Начнем с нахождения производной функции. Производная y' будет равна:

• y' = (5a/3)x^2 - 60x + 5(a + 9)

Теперь упростим уравнение, разделив на 5:

• y' = (a/3)x^2 - 12x + (a + 9)

Для того чтобы функция y возрастала на всей числовой прямой, производная y' должна быть неотрицательной для всех значений x. Это означает, что квадратичная функция (a/3)x^2 - 12x + (a + 9) должна быть больше или равна нулю.

Квадратичная функция имеет вид Ax^2 + Bx + C, где A = (a/3), B = -12, C = (a + 9).

Чтобы эта функция была неотрицательна на всей числовой прямой, необходимо, чтобы:

1. A >= 0 (то есть a/3 >= 0, следовательно a >= 0),
2. Дискриминант D = B^2 - 4AC должен быть меньше или равен нулю, что гарантирует отсутствие действительных корней.

Теперь вычислим дискриминант:

• D = (-12)^2 - 4 * (a/3) * (a + 9)
• D = 144 - (4a^2 + 36a)/3
• D = 144 - (4/3)a^2 - 12a

Для того чтобы D <= 0, преобразуем неравенство:

• 144 - (4/3)a^2 - 12a >= 0

Умножим на -3 для устранения дроби:

• -432 + 4a^2 + 36a <= 0

Переписываем неравенство:

• 4a^2 + 36a - 432 <= 0

Теперь делим на 4:

• a^2 + 9a - 108 <= 0

Решим это квадратное неравенство. Найдем корни уравнения:

• D = 9^2 - 4 * 1 * (-108) = 81 + 432 = 513
• Корни будут равны:
• a1 = (-9 - sqrt(513))/2 и a2 = (-9 + sqrt(513))/2

В результате рассматриваемое неравенство a^2 + 9a - 108 <= 0 выполняется в интервале между корнями. Таким образом, мы определили, что функция y будет возрастать на всей числовой прямой при определённых значениях a.

Собирая всё вместе, можно сказать, что функция y возрастает на всей числовой прямой при a > 0 и a входит в интервал [3; +∞).