При каких значениях параметра a коэффициент при x^3 в стандартном виде многочлена (x^2-(a-1)x+a)(x^2+a^2x+2a) равен 7?

Алгебра 11 класс Многочлены и параметры алгебра 11 класс коэффициент x^3 многочлен стандартный вид параметры уравнение значения a решение задачи полиномы произведение многочленов математический анализ Новый

Чтобы найти значения параметра a, при которых коэффициент при x^3 в многочлене (x^2-(a-1)x+a)(x^2+a^2x+2a) равен 7, начнем с раскрытия скобок.

Сначала обозначим два многочлена:

• P1 = x^2 - (a - 1)x + a
• P2 = x^2 + a^2x + 2a

Теперь мы произведем умножение этих двух многочленов:

P1 * P2 = (x^2 - (a - 1)x + a)(x^2 + a^2x + 2a)

При раскрытии скобок мы будем искать коэффициент при x^3. Чтобы сделать это, мы можем использовать распределительное свойство:

1. Умножим x^2 из первого многочлена на все члены второго:
   • x^2 * x^2 = x^4
   • x^2 * a^2x = a^2x^3
   • x^2 * 2a = 2ax^2
2. Теперь умножим - (a - 1)x на все члены второго многочлена:
   • -(a - 1)x * x^2 = -(a - 1)x^3
   • -(a - 1)x * a^2x = -(a - 1)a^2x^2
   • -(a - 1)x * 2a = -2a(a - 1)x
3. И наконец, умножим a на все члены второго многочлена:
   • a * x^2 = ax^2
   • a * a^2x = a^3x
   • a * 2a = 2a^2

Теперь соберем все полученные выражения:

P1 * P2 = x^4 + (a^2 - (a - 1))x^3 + (2a - (a - 1)a^2 + a)x^2 + (a^3 - 2a(a - 1))x + 2a^2

Теперь нам нужно найти коэффициент при x^3, который равен:

a^2 - a + 1

Мы приравняем этот коэффициент к 7:

a^2 - a + 1 = 7

Теперь решим это уравнение:

a^2 - a - 6 = 0

Это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу для его решения:

a = (b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -1, c = -6.

Подставляем значения:

b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25

Теперь подставляем в формулу:

a = (1 ± √25) / 2 = (1 ± 5) / 2

Таким образом, у нас получаются два значения:

• a1 = (1 + 5) / 2 = 3
• a2 = (1 - 5) / 2 = -2

Итак, коэффициент при x^3 равен 7, когда a = 3 или a = -2.