При каких значениях параметра a всякое решение неравенства x^2 - 3x + 2 < 0 будет одновременно решением неравенства ax^2 - (3a + 1)x > 0?

Алгебра 11 класс Неравенства с параметром неравенство алгебра параметры решения x^2 ax^2 условия 11 класс математический анализ Новый

Чтобы решить задачу, начнем с анализа первого неравенства:

1. Решим неравенство x^2 - 3x + 2 < 0.

• Сначала найдем корни квадратного уравнения x^2 - 3x + 2 = 0. Для этого воспользуемся формулой корней:
• Корни уравнения можно найти по формуле: x = (b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -3, c = 2.
• Вычисляем дискриминант: D = (-3)² - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1.
• Теперь находим корни: x1 = (3 + √1) / 2 = 2 и x2 = (3 - √1) / 2 = 1.

Таким образом, корни уравнения: x1 = 2 и x2 = 1. Теперь мы можем построить интервал, на котором функция меньше нуля.

Функция x^2 - 3x + 2 является параболой, открытой вверх, и ее значение меньше нуля между корнями:

Ответ: x ∈ (1, 2).

2. Теперь рассмотрим второе неравенство ax^2 - (3a + 1)x > 0.

• Это неравенство также является квадратным, и его корни можно найти следующим образом:
• Сначала найдем дискриминант: D = (-(3a + 1))² - 4 * a * 0 = (3a + 1)².
• Теперь найдем корни уравнения ax^2 - (3a + 1)x = 0. Корни будут равны: x1 = 0 и x2 = (3a + 1) / a, если a ≠ 0.

Теперь мы должны определить, при каких значениях a функция ax^2 - (3a + 1)x будет положительной на интервале (1, 2).

3. Рассмотрим два случая:

• Случай 1: a > 0.
• В этом случае парабола открыта вверх, и она будет положительна вне интервалов (0, (3a + 1) / a).
• Чтобы функция была положительной на интервале (1, 2), необходимо, чтобы 0 < 1 и 2 < (3a + 1) / a.
• Решим неравенство 2 < (3a + 1) / a:
• Умножим обе стороны на a (при a > 0): 2a < 3a + 1.
• Переносим все в одну сторону: 0 < a + 1, что всегда верно.
• Таким образом, при a > 0 функция ax^2 - (3a + 1)x будет положительной на интервале (1, 2).

• Случай 2: a < 0.
• В этом случае парабола открыта вниз, и она будет положительной на интервале ((3a + 1) / a, 0).
• Чтобы функция была положительной на интервале (1, 2), необходимо, чтобы (3a + 1) / a < 1 и 2 < 0, что невозможно.
• Таким образом, a не может быть отрицательным.

Итак, итог:

Неравенство ax^2 - (3a + 1)x > 0 выполняется при a > 0. Таким образом, всякое решение неравенства x^2 - 3x + 2 < 0 будет одновременно решением неравенства ax^2 - (3a + 1)x > 0 при условии, что a > 0.