Давайте решим задачу шаг за шагом. Мы знаем, что у нас есть квадратное уравнение:

4x² - (3 + 2q)x + 2 = 0

Нам нужно найти такие значения параметра q, при которых один из корней уравнения в 8 раз меньше другого. Обозначим корни уравнения как x1 и x2. Пусть x1 - это меньший корень, а x2 - больший корень. Тогда мы можем записать:

x1 = k * x2

где k = 1/8, так как x1 в 8 раз меньше x2.

Таким образом, мы можем записать:

x1 = (1/8) * x2

Теперь мы знаем, что сумма корней x1 + x2 равна:

x1 + x2 = (3 + 2q) / 4

А произведение корней x1 * x2 равно:

x1 * x2 = 2 / 4 = 1/2

Подставим x1 = (1/8) * x2 в выражение для суммы корней:

1. Сначала выразим x2 через x1:
2. x2 = 8 * x1
3. Теперь подставим это в сумму корней:

x1 + 8x1 = (3 + 2q) / 4

9x1 = (3 + 2q) / 4

Теперь найдем x1:

x1 = (3 + 2q) / 36

Теперь подставим x1 в произведение корней:

x1 * x2 = x1 * (8 * x1) = 8x1² = 1/2

Подставим значение x1:

8 * ((3 + 2q) / 36)² = 1/2

Упростим это уравнение:

8 * (3 + 2q)² / 1296 = 1/2

Перемножим обе стороны на 1296:

8 * (3 + 2q)² = 648

Теперь разделим обе стороны на 8:

(3 + 2q)² = 81

Теперь извлечем квадратный корень из обеих сторон:

3 + 2q = ±9

Теперь решим два случая:

1. Случай 1: 3 + 2q = 9
2. 2q = 9 - 3
3. 2q = 6
4. q = 3

1. Случай 2: 3 + 2q = -9
2. 2q = -9 - 3
3. 2q = -12
4. q = -6

Таким образом, значения параметра q, при которых один из корней уравнения в 8 раз меньше другого, равны:

q = 3 и q = -6