При каких значениях x имеет смысл следующее выражение?

1. √[8]{1/x}
2. √[12]{1/x²}
3. √(x + 2)
4. √[6]{4x² - 1}

Алгебра 11 класс Исследование выражений с корнями алгебра 11 класс значение x выражение корень определение область определения математические выражения решение уравнений квадратный корень функции алгебраические выражения Новый

Давайте разберем каждое из данных выражений по отдельности, чтобы определить, при каких значениях x они имеют смысл.

• Первое выражение: √[8]{1/x}

  Корень восьмой степени определен, если подкоренное выражение больше нуля. То есть, 1/x > 0. Это выполняется, когда x > 0. Таким образом, для этого выражения x должно быть положительным.

• Второе выражение: √[12]{1/x²}

  Корень двенадцатой степени также определен, если подкоренное выражение больше нуля. Так как 1/x² всегда положительно для всех x, кроме x = 0, это выражение будет иметь смысл для всех значений x, кроме нуля: x ≠ 0.

• Третье выражение: √(x + 2)

  Корень квадратный определен, если подкоренное выражение не отрицательно. То есть, x + 2 ≥ 0. Это приводит к неравенству x ≥ -2. Таким образом, для этого выражения x должен быть больше или равен -2.

• Четвертое выражение: √[6]{4x² - 1}

  Корень шестой степени определен для всех действительных чисел, так как он принимает значения как для положительных, так и для отрицательных подкоренных выражений. Однако, чтобы избежать комплексных чисел, мы должны рассмотреть, когда 4x² - 1 = 0. Это происходит, когда 4x² = 1, что дает x = ±1/2. Таким образом, 4x² - 1 ≥ 0, что приводит к неравенству x² ≥ 1/4. Это означает, что x ≤ -1/2 или x ≥ 1/2.

Теперь давайте подытожим условия для всех выражений:

• Для √[8]{1/x}: x > 0
• Для √[12]{1/x²}: x ≠ 0
• Для √(x + 2): x ≥ -2
• Для √[6]{4x² - 1}: x ≤ -1/2 или x ≥ 1/2

Таким образом, чтобы все выражения имели смысл одновременно, необходимо найти пересечение всех условий. Наименьшее общее значение будет:

• x > 0 (для первого выражения)
• x ≥ -2 (для третьего выражения)
• x ≤ -1/2 или x ≥ 1/2 (для четвертого выражения)

Из этого следует, что единственным допустимым значением x, которое удовлетворяет всем условиям, является x ≥ 1/2.