Чтобы функция f(x) = (mx + 9) / (4x + m) была постоянной, ее значение должно не зависеть от переменной x. Это возможно, если числитель и знаменатель функции являются пропорциональными линейными выражениями. Давайте разберем это подробнее.

Функция f(x) будет постоянной, если при любом x значение f(x) остается одинаковым. Для этого необходимо, чтобы производная функции равнялась нулю, или, что проще, чтобы коэффициенты при x в числителе и знаменателе были пропорциональны.

Запишем функцию:

f(x) = (mx + 9) / (4x + m)

Теперь найдем коэффициенты при x в числителе и знаменателе:

• Коэффициент при x в числителе: m
• Коэффициент при x в знаменателе: 4

Для того чтобы функция была постоянной, должно выполняться следующее условие:

m / 4 = k, где k - какое-то постоянное число.

Это условие можно записать в виде:

m = 4k

Теперь, чтобы функция была постоянной, необходимо, чтобы свободные члены также были пропорциональны. Свободные члены в нашем случае:

• Свободный член в числителе: 9
• Свободный член в знаменателе: m

Следовательно, должно выполняться следующее условие:

9 / m = k

Теперь у нас есть две пропорциональности:

1. m = 4k
2. 9 = mk

Подставим первое уравнение во второе:

9 = (4k)k

9 = 4k^2

Теперь выразим k:

k^2 = 9 / 4

k = ±3/2

Теперь подставим значение k обратно в первое уравнение:

m = 4(3/2) = 6

или

m = 4(-3/2) = -6

Так как нас интересует только положительное значение параметра m, то:

m = 6

Таким образом, функция f(x) будет постоянной при положительном значении параметра m, равном 6.