2026-01-15 13:06:49
При каком значении a сумма x² + y² достигает своего максимума для пары (x, y), которая удовлетворяет системе уравнений:
- x + y = a - 1,
- xy = a² - 7a + 12.
Варианты ответа:
- A) 3
- B) 12
- C) 6
- D) 8
- E) 4
Алгебра 11 класс Оптимизация функций двух переменных алгебра 11 класс система уравнений максимальная сумма значение a x² + y² Новый
2026-01-15 13:07:10
Для решения задачи начнем с того, что нам необходимо выразить сумму x² + y² через переменную a. Мы знаем, что сумма квадратов двух чисел может быть выражена через их сумму и произведение следующим образом:
x² + y² = (x + y)² - 2xy.
Теперь подставим в это выражение известные нам значения:
- Сумма x + y равна a - 1.
- Произведение xy равно a² - 7a + 12.
Подставим эти значения в формулу:
x² + y² = (a - 1)² - 2(a² - 7a + 12).
Теперь упростим это выражение:
- Сначала найдем (a - 1)²:
- (a - 1)² = a² - 2a + 1.
- Теперь подставим это в формулу:
x² + y² = a² - 2a + 1 - 2(a² - 7a + 12).
Теперь упростим вторую часть:
- - 2(a² - 7a + 12) = -2a² + 14a - 24.
Теперь подставим это обратно в выражение:
x² + y² = a² - 2a + 1 - 2a² + 14a - 24.
Соберем подобные члены:
x² + y² = -a² + 12a - 23.
Теперь мы имеем квадратичное уравнение в виде:
f(a) = -a² + 12a - 23.
Чтобы найти максимум этой функции, мы можем использовать формулу для нахождения координаты вершины параболы, которая имеет вид:
a_vertex = -b / (2a).
В нашем случае:
- a = -1 (коэффициент перед a²),
- b = 12 (коэффициент перед a).
Теперь подставим значения:
a_vertex = -12 / (2 * -1) = 6.
Таким образом, сумма x² + y² достигает своего максимума при значении a = 6.
Ответ: C) 6.