При каком значении a уравнение x^3 - 13^2 + ax - 64 = 0 имеет три различных действительных корня, которые образуют геометрическую прогрессию?

Алгебра 11 класс Уравнения с параметрами и их корни уравнение три различных корня Геометрическая прогрессия алгебра 11 класс значение a Новый

Чтобы уравнение x^3 - 13^2 + ax - 64 = 0 имело три различных действительных корня, которые образуют геометрическую прогрессию, давайте обозначим корни как r, rq и rq^2, где r - первый корень, а q - знаменатель геометрической прогрессии.

Согласно теореме Виета, сумма корней кубического уравнения равна -b/a, где b - коэффициент при x^2, а a - коэффициент при x^3. В нашем случае уравнение можно переписать как:

x^3 + (a)x + (-64 - 13^2) = 0.

Сумма корней будет равна:

• r + rq + rq^2 = r(1 + q + q^2).

Также мы знаем, что сумма корней равна 0, так как коэффициент при x^2 равен 0. Таким образом, у нас получается:

• r(1 + q + q^2) = 0.

Поскольку корни должны быть различными и действительными, r не может быть равным 0. Следовательно, 1 + q + q^2 = 0.

Решим это уравнение:

• q^2 + q + 1 = 0.

Дискриминант этого уравнения равен:

• D = 1^2 - 4*1*1 = 1 - 4 = -3.

Так как дискриминант отрицательный, это уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что мы не можем использовать q как корень геометрической прогрессии.

Теперь давайте посмотрим на произведение корней. Согласно теореме Виета, произведение корней равно -(-64 - 13^2)/1, что равно 64 + 169 = 233.

Произведение корней в геометрической прогрессии равно:

• r * rq * rq^2 = r^3 * q^3.

Таким образом, у нас есть уравнение:

• r^3 * q^3 = 233.

Теперь мы можем выразить r через q:

• r = (233/q^3)^(1/3).

Мы знаем, что сумма корней равна 0, и подставляем r и q в уравнение:

• (233/q^3)^(1/3) * (1 + q + q^2) = 0.

Так как мы уже выяснили, что 1 + q + q^2 = 0 не имеет действительных решений, это подтверждает, что уравнение не может иметь три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию.

Таким образом, ответ на вопрос: при любом значении a уравнение не будет иметь три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию.