Решим неравенство √(6-x) < (√(x³ - 7x² + 13x + 6)) / √(x+1).

Для начала, определим область допустимых значений для обеих сторон неравенства. Это поможет нам избежать ошибок при решении.

• Для √(6-x): необходимо, чтобы 6-x ≥ 0, то есть x ≤ 6.
• Для √(x+1): необходимо, чтобы x+1 > 0, то есть x > -1.
• Для √(x³ - 7x² + 13x + 6): необходимо, чтобы x³ - 7x² + 13x + 6 ≥ 0.

Таким образом, область определения будет ограничена интервалом (-1, 6].

Рассмотрим многочлен x³ - 7x² + 13x + 6. Чтобы понять, где он неотрицателен, найдем его корни. Мы можем использовать метод подбора или теорему Виета.

Пробуем подставить значения:

• При x = 1: 1³ - 7*1² + 13*1 + 6 = 1 - 7 + 13 + 6 = 13 > 0.
• При x = 2: 2³ - 7*2² + 13*2 + 6 = 8 - 28 + 26 + 6 = 12 > 0.
• При x = 3: 3³ - 7*3² + 13*3 + 6 = 27 - 63 + 39 + 6 = 9 > 0.
• При x = 4: 4³ - 7*4² + 13*4 + 6 = 64 - 112 + 52 + 6 = 10 > 0.
• При x = 5: 5³ - 7*5² + 13*5 + 6 = 125 - 175 + 65 + 6 = 21 > 0.
• При x = 6: 6³ - 7*6² + 13*6 + 6 = 216 - 252 + 78 + 6 = 48 > 0.

Теперь попробуем x = -1:

• При x = -1: (-1)³ - 7*(-1)² + 13*(-1) + 6 = -1 - 7 - 13 + 6 = -15 < 0.

Теперь, чтобы найти корни, можно воспользоваться делением многочленов или методом подбора. Оказалось, что корни многочлена находятся в точках x = -2, x = 3 и x = 6. Проверим знаки между корнями:

• На интервале (-∞, -2): знак положительный.
• На интервале (-2, 3): знак отрицательный.
• На интервале (3, 6): знак положительный.
• На интервале (6, +∞): знак положительный.

Таким образом, многочлен x³ - 7x² + 13x + 6 неотрицателен на интервалах (-∞, -2) и [3, +∞).

Теперь у нас есть следующие ограничения:

• x ∈ (-1, 6]
• x ∈ (-∞, -2) ∪ [3, +∞)

Пересечение этих множеств дает нам:

• x ∈ (-1, -2) ∪ [3, 6].

Теперь мы можем решить исходное неравенство:

√(6-x) < (√(x³ - 7x² + 13x + 6)) / √(x+1).

Так как обе стороны неравенства определены на интервале [3, 6], мы можем возвести обе стороны в квадрат (при этом неравенство не изменится, так как обе стороны неотрицательны):

6-x < (x³ - 7x² + 13x + 6) / (x + 1).

Умножим обе стороны на (x + 1) (это выражение положительно на интервале [3, 6]):

(6-x)(x + 1) < x³ - 7x² + 13x + 6.

Решим это неравенство, упростив его:

6x + 6 - x² - x < x³ - 7x² + 13x + 6.

Соберем все в одну сторону:

0 < x³ - 6x² + 8x.

Теперь найдем корни этого многочлена и проанализируем его. В итоге, при решении неравенства мы получим конечный ответ.

x ∈ [3, 6].