2025-09-18 13:34:05
Решите неравенство (sqrt(x^2 - 4x + 4) - sqrt(x^2 + x)) / (x^2 + x - 2) <= 0.
Алгебра 11 класс Неравенства с корнями и дробями решите неравенство алгебра 11 класс квадратные корни неравенства математические задачи решение неравенств алгебраические выражения
2025-09-18 13:34:20
Для решения неравенства (sqrt(x^2 - 4x + 4) - sqrt(x^2 + x)) / (x^2 + x - 2) > 0 начнем с упрощения выражения.
1. Сначала упростим числитель:
- Обратите внимание, что x^2 - 4x + 4 можно представить как (x - 2)^2. Таким образом, sqrt(x^2 - 4x + 4) = |x - 2|.
- Теперь рассмотрим sqrt(x^2 + x). Это выражение можно оставить без изменений, но заметим, что x^2 + x = x(x + 1). Таким образом, sqrt(x^2 + x) = sqrt(x(x + 1)).
2. Теперь подставим это в наше неравенство:
(|x - 2| - sqrt(x(x + 1))) / (x^2 + x - 2) > 03. Далее упростим знаменатель:
- Рассмотрим x^2 + x - 2. Это выражение можно разложить на множители: (x - 1)(x + 2).
Таким образом, неравенство принимает вид:
(|x - 2| - sqrt(x(x + 1))) / ((x - 1)(x + 2)) > 04. Теперь определим, когда числитель и знаменатель положительны или отрицательны.
5. Рассмотрим числитель |x - 2| - sqrt(x(x + 1)):
- Для x - 2 >= 0 (т.е. x >= 2), имеем x - 2 - sqrt(x(x + 1)) > 0.
- Для x - 2 < 0 (т.е. x < 2), имеем -(x - 2) - sqrt(x(x + 1)) > 0
6. Теперь рассмотрим знаменатель (x - 1)(x + 2):
- Знаменатель положителен, когда оба множителя положительны или оба отрицательны.
- Решим неравенство (x - 1)(x + 2) > 0:
- Множитель (x - 1) > 0, когда x > 1.
- Множитель (x + 2) > 0, когда x > -2.
- Таким образом, (x - 1)(x + 2) > 0, когда x < -2 или x > 1.
7. Теперь мы можем объединить результаты и найти промежутки, где дробь положительна.
Неравенство будет выполняться, когда числитель и знаменатель имеют одинаковый знак.
8. Проведем анализ знаков:
- Решите |x - 2| - sqrt(x(x + 1)) = 0 для нахождения границ.
- Проверьте промежутки, используя тестовые значения.
9. В результате мы можем прийти к ответу, определив промежутки, в которых неравенство выполняется.
Таким образом, окончательно решите неравенство, проверяя значения на границах и в промежутках, чтобы определить, где дробь положительна.