Решите предел, пожалуйста: lim n, стремится к бесконечности, (2n+1)^2 (числитель) / (2n-1)(n+2) (знаменатель)

Алгебра 11 класс Пределы алгебра предел решение предела лимит бесконечность числитель знаменатель математический анализ Новый

Решим предел, который задан в виде:

lim (n → ∞) (2n + 1)² / ((2n - 1)(n + 2)).

Чтобы упростить этот предел, начнем с раскрытия скобок в числителе и знаменателе.

Шаг 1: Раскроем числитель

• (2n + 1)² = 4n² + 4n + 1.

Шаг 2: Раскроем знаменатель

• (2n - 1)(n + 2) = 2n² + 4n - n - 2 = 2n² + 3n - 2.

Теперь наш предел выглядит так:

lim (n → ∞) (4n² + 4n + 1) / (2n² + 3n - 2).

Шаг 3: Разделим числитель и знаменатель на n²

Это поможет нам увидеть поведение дроби при n, стремящемся к бесконечности:

lim (n → ∞) (4 + 4/n + 1/n²) / (2 + 3/n - 2/n²).

Шаг 4: Применим предел

Когда n стремится к бесконечности, все дроби с n в знаменателе стремятся к 0:

• 4/n → 0,
• 1/n² → 0,
• 3/n → 0,
• -2/n² → 0.

Таким образом, предел упрощается до:

lim (n → ∞) (4 + 0 + 0) / (2 + 0 - 0) = 4/2 = 2.

Ответ: Предел равен 2.