Решите следующие уравнения и неравенство:

1. 5^x 2 - 5^x = 24
2. log2^2x - 4log2x = 12
3. log0.1(7x 3) > -1
4. log2x^4 - log0.25x = log3

Срочно решите, пожалуйста!

Алгебра 11 класс Уравнения и неравенства с логарифмами и показателями алгебра 11 класс уравнения неравенства логарифмы экспоненты Новый

Давайте решим каждое из уравнений и неравенств по порядку.

1. Уравнение: 5^(2x) - 5^x = 24

Сначала сделаем замену: пусть y = 5^x. Тогда уравнение можно переписать как:

y^2 - y - 24 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * (-24) = 1 + 96 = 97.

Теперь находим корни уравнения:

• y1 = (1 + √97) / 2, y2 = (1 - √97) / 2.

Так как 5^x всегда положительно, нас интересует только положительный корень:

y = (1 + √97) / 2.

Теперь вернемся к переменной x:

5^x = (1 + √97) / 2.

Для нахождения x используем логарифм:

x = log5((1 + √97) / 2).

2. Уравнение: log2(2x) - 4log2(x) = 12

Сначала упростим уравнение:

log2(2x) = log2(2) + log2(x) = 1 + log2(x).

Теперь подставим это обратно в уравнение:

1 + log2(x) - 4log2(x) = 12.

Это упрощается до:

1 - 3log2(x) = 12.

Теперь перенесем 1 на правую сторону:

-3log2(x) = 11.

Разделим обе стороны на -3:

log2(x) = -11/3.

Теперь преобразуем это в экспоненциальную форму:

x = 2^(-11/3).

3. Неравенство: log0.1(7x^3) > -1

Перепишем неравенство в более удобной форме:

log0.1(7x^3) = log(7x^3) / log(0.1).

Так как log(0.1) < 0, неравенство меняет знак:

log(7x^3) < -1 * log(0.1) = 1.

Теперь преобразуем это в экспоненциальную форму:

7x^3 < 10^1.

7x^3 < 10.

Теперь делим обе стороны на 7:

x^3 < 10/7.

И находим x:

x < (10/7)^(1/3).

4. Уравнение: log2(x^4) - log0.25(x) = log3

Упростим уравнение, используя свойства логарифмов:

log2(x^4) = 4log2(x) и log0.25(x) = log(1/4)(x) = -2log2(x).

Теперь подставим это в уравнение:

4log2(x) + 2log2(x) = log3.

6log2(x) = log3.

Разделим обе стороны на 6:

log2(x) = log3 / 6.

Теперь преобразуем это в экспоненциальную форму:

x = 2^(log3 / 6).

Это можно переписать как:

x = 3^(1/6).

Таким образом, мы решили все уравнения и неравенства. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!