Решите следующую систему уравнений:

1. log2 х + log2 у = 5
2. х - 3у = -20

и

1. 3^x - 3^у = 6
2. 2 ∙ 3^х + 3^у = 21

Алгебра 11 класс Системы логарифмических и экспоненциальных уравнений алгебра 11 класс система уравнений логарифмы решение уравнений экспоненциальные уравнения Новый

Давайте решим каждую из предложенных систем уравнений по отдельности.

Первая система уравнений:

• log2 х + log2 у = 5
• х - 3у = -20

Начнем с первого уравнения. Мы можем использовать свойства логарифмов, чтобы выразить его в более удобной форме:

log2 (x * y) = 5

Это означает, что:

x * y = 2^5 = 32

Теперь у нас есть два уравнения:

• x * y = 32
• x - 3y = -20

Теперь мы можем выразить x через y из второго уравнения:

x = 3y - 20

Подставим это значение x в первое уравнение:

(3y - 20) * y = 32

Раскроем скобки:

3y^2 - 20y - 32 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 * 3 * (-32) = 400 + 384 = 784

Теперь найдем корни уравнения:

y = (20 ± √784) / 6

√784 = 28, следовательно:

y1 = (20 + 28) / 6 = 48 / 6 = 8

y2 = (20 - 28) / 6 = -8 / 6 = -4/3 (отрицательное значение не подходит, так как логарифм отрицательного числа не существует)

Теперь подставим y1 = 8 в выражение для x:

x = 3 * 8 - 20 = 24 - 20 = 4

Таким образом, решение первой системы уравнений:

(x, y) = (4, 8)

Вторая система уравнений:

• 3^x - 3^y = 6
• 2 * 3^x + 3^y = 21

Для решения этой системы уравнений, давайте обозначим:

A = 3^x

B = 3^y

Тогда система уравнений преобразуется в:

• A - B = 6
• 2A + B = 21

Теперь выразим B из первого уравнения:

B = A - 6

Подставим это значение во второе уравнение:

2A + (A - 6) = 21

3A - 6 = 21

3A = 27

A = 9

Теперь найдем B:

B = 9 - 6 = 3

Теперь вернемся к нашим обозначениям:

3^x = 9 и 3^y = 3

Это означает:

x = 2 и y = 1

Таким образом, решение второй системы уравнений:

(x, y) = (2, 1)

В итоге, мы получили два решения для двух систем:

• Первая система: (x, y) = (4, 8)
• Вторая система: (x, y) = (2, 1)