Решите уравнение x^2 + 2√(x^2 - 3x + 4) = 3x + 4, используя метод замены переменной.

Алгебра 11 класс Уравнения с корнями и метод замены переменной решение уравнения алгебра 11 класс метод замены переменной квадратное уравнение корень из выражения алгебраические уравнения Новый

Для начала давайте упростим уравнение, используя метод замены переменной. У нас есть уравнение:

x^2 + 2√(x^2 - 3x + 4) = 3x + 4

Первым шагом будет изолировать корень. Переносим все, что не связано с корнем, на правую сторону уравнения:

2√(x^2 - 3x + 4) = 3x + 4 - x^2

Теперь делим обе стороны на 2:

√(x^2 - 3x + 4) = (3x + 4 - x^2) / 2

Теперь мы можем сделать замену переменной. Обозначим:

y = √(x^2 - 3x + 4)

Тогда у нас получится:

y = (3x + 4 - x^2) / 2

Теперь мы можем выразить x через y. Для этого возведем обе стороны в квадрат:

y^2 = x^2 - 3x + 4

Итак, у нас есть система уравнений:

1. y = (3x + 4 - x^2) / 2
2. y^2 = x^2 - 3x + 4

Подставим первое уравнение во второе. Вставляем значение y из первого уравнения во второе:

((3x + 4 - x^2) / 2)^2 = x^2 - 3x + 4

Теперь давайте упростим левую часть уравнения:

(3x + 4 - x^2)^2 / 4 = x^2 - 3x + 4

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дроби:

(3x + 4 - x^2)^2 = 4(x^2 - 3x + 4)

Теперь раскроем квадрат слева:

(3x + 4 - x^2)(3x + 4 - x^2) = 4(x^2 - 3x + 4)

После раскрытия скобок и упрощения мы получим квадратное уравнение. Решив его, мы найдем значения x.

Решаем квадратное уравнение и находим корни. После нахождения корней, не забудьте проверить их в исходном уравнении, так как при возведении в квадрат могли появиться лишние корни.

Таким образом, мы можем найти все возможные значения x, которые удовлетворяют исходному уравнению.