Сформулируйте уравнение касательной и нормали к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой х0:

• f(x) = корень квадратный(под ним все выражение) х^2-4x+11, х0=3

№4

Как найти дифференциал функции у= f(x):

• f(x)= е^ln x/x+1

Алгебра 11 класс Дифференцирование и касательные к графикам функций Уравнение касательной уравнение нормали график функции дифференциал функции алгебра 11 класс Корень квадратный производная функции точка касания математический анализ f(x) = e^ln x x0 = 3 x^2 - 4x + 11 Новый

Давайте разберем оба задания по порядку.

Задание 1: Уравнение касательной и нормали к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x0 = 3.

1. Найдем значение функции f(x) в точке x0 = 3:

• f(3) = √(3^2 - 4*3 + 11)
• f(3) = √(9 - 12 + 11)
• f(3) = √(8) = 2√2.

2. Теперь найдем производную функции f(x) для вычисления углового коэффициента касательной:

• f(x) = √(x^2 - 4x + 11).
• Используем правило дифференцирования сложной функции:
• f'(x) = (1/2)(x^2 - 4x + 11)^(-1/2) * (2x - 4).
• Упростим: f'(x) = (x - 2) / √(x^2 - 4x + 11).

3. Теперь подставим x0 = 3 в производную, чтобы найти угловой коэффициент касательной:

• f'(3) = (3 - 2) / √(3^2 - 4*3 + 11)
• f'(3) = 1 / √(8) = 1 / (2√2).

4. У нас есть точка (3, 2√2) и угловой коэффициент 1/(2√2). Теперь можем записать уравнение касательной:

• y - 2√2 = (1/(2√2))(x - 3).

5. Упрощаем уравнение касательной:

• y = (1/(2√2))x + 2√2 - (3/(2√2)),
• y = (1/(2√2))x + (4√2 - 3)/(2√2).

6. Уравнение нормали - это уравнение, перпендикулярное касательной. Угловой коэффициент нормали равен -1/(угловой коэффициент касательной):

• k_normal = -2√2.

7. Уравнение нормали будет:

• y - 2√2 = -2√2(x - 3).

8. Упрощаем уравнение нормали:

• y = -2√2x + 6√2 + 2√2 = -2√2x + 8√2.

Ответ:

• Уравнение касательной: y = (1/(2√2))x + (4√2 - 3)/(2√2).
• Уравнение нормали: y = -2√2x + 8√2.

Задание 2: Найти дифференциал функции y = f(x): f(x) = e^(ln(x)/(x+1)).

1. Прежде всего, упростим функцию:

• f(x) = e^(ln(x)/(x+1)) = x^(1/(x+1)).

2. Теперь найдем производную f'(x) с помощью правила дифференцирования:

• Используем правило логарифмического дифференцирования:
• ln(f(x)) = (1/(x+1)) * ln(x).

3. Находим производную обеих сторон:

• (1/f(x)) * f'(x) = (x * (1/(x+1))' + ln(x) * (1/(x+1))') / (x+1)^2.

4. Подставляем значения и упрощаем:

• f'(x) = f(x) * (1/(x+1)^2) * (1 - ln(x)).

5. Теперь мы можем записать дифференциал df:

• df = f'(x) * dx.

Ответ:

• Дифференциал функции y = f(x): df = f'(x) * dx, где f'(x) = f(x) * (1/(x+1)^2) * (1 - ln(x)).