Сколько натуральных n, меньших 1043, существует так, что уравнение a^2+b^2=11^n имеет целые решения?

Алгебра 11 класс Диофантовы уравнения алгебра 11 класс уравнение a^2+b^2=11^n целые решения натуральные числа количество решений математические задачи Новый

Чтобы решить задачу, определим, при каких значениях n уравнение a^2 + b^2 = 11^n имеет целые решения.

Согласно теореме о представимости чисел в виде суммы двух квадратов, натуральное число можно представить в виде суммы двух квадратов, если оно не содержит в своем разложении на простые множители числа вида 4k + 3 с нечетной степенью.

Теперь рассмотрим число 11. Оно является простым числом и имеет вид 4k + 3 (так как 11 = 4 * 2 + 3). Это означает, что если n нечетно, то 11^n будет иметь нечетную степень в разложении на простые множители. Следовательно, 11^n не сможет быть представлено в виде суммы двух квадратов.

Теперь давайте рассмотрим случаи, когда n четно. Если n четно, то 11^n может быть представлено в виде суммы двух квадратов, так как в этом случае 11^n будет иметь четную степень в разложении на простые множители.

Таким образом, у нас есть два случая:

• n четно: уравнение имеет целые решения;
• n нечетно: уравнение не имеет целых решений.

Теперь нам нужно найти количество четных натуральных n, меньших 1043. Четные натуральные числа формируют последовательность 2, 4, 6, ..., 1042.

Эта последовательность является арифметической с первым членом 2 и разностью 2. Чтобы найти количество членов в этой последовательности, используем формулу для n-го члена арифметической прогрессии:

n = a + (k - 1)d, где:

• a - первый член (2);
• d - разность (2);
• k - номер последнего члена.

Подставим известные значения:

1042 = 2 + (k - 1) * 2.

Решим это уравнение:

1. 1042 - 2 = (k - 1) * 2;
2. 1040 = (k - 1) * 2;
3. k - 1 = 520;
4. k = 521.

Таким образом, количество четных натуральных n, меньших 1043, равно 521.

Ответ: 521 натуральных n, меньших 1043, существуют так, что уравнение a^2 + b^2 = 11^n имеет целые решения.