2025-09-10 16:39:36
Сколько существует целых решений неравенства 2 в степени (x в квадрате минус 4x плюс 5) меньше или равно 4x минус 2 минус x в квадрате?
Алгебра 11 класс Неравенства с переменной в степени неравенство целые решения алгебра 11 класс 2 в степени X в квадрате 4x минус 2 математические задачи решение неравенств
2025-09-10 16:39:48
Для решения неравенства 2^(x^2 - 4x + 5) <= 4x - 2 - x^2, начнем с упрощения обеих сторон.
Сначала рассмотрим выражение в показателе степени:
- x^2 - 4x + 5 можно привести к более понятному виду. Это квадратный трёхчлен, который можно переписать как (x - 2)^2 + 1. Таким образом, 2^(x^2 - 4x + 5) = 2^((x - 2)^2 + 1) = 2 * 2^(x - 2)^2.
Теперь у нас есть:
2 * 2^(x - 2)^2 <= 4x - 2 - x^2.
Теперь упростим правую часть:
- 4x - 2 - x^2 = -x^2 + 4x - 2.
Теперь запишем неравенство в более удобном виде:
2 * 2^(x - 2)^2 + x^2 - 4x + 2 <= 0.
Чтобы найти целые решения, исследуем, при каких значениях x это неравенство выполняется. Сначала найдем точки пересечения:
- Рассмотрим функцию f(x) = 4x - 2 - x^2. Это парабола, открытая вниз.
- Найдем её корни, решив уравнение 4x - 2 - x^2 = 0.
- Перепишем уравнение: x^2 - 4x + 2 = 0.
- Используем дискриминант: D = b^2 - 4ac = 16 - 8 = 8.
- Корни: x1,2 = (4 ± √8) / 2 = 2 ± √2.
Теперь определим, на каком интервале функция f(x) <= 0:
Парабола будет отрицательной между корнями:
2 - √2 < x < 2 + √2.
Теперь найдем целые значения x в этом интервале:
- 2 - √2 ≈ 0.586 и 2 + √2 ≈ 3.414.
- Целые значения x, которые попадают в этот интервал: 1, 2, 3.
Таким образом, целые решения неравенства: x = 1, x = 2, x = 3.
Ответ: Существует 3 целых решения неравенства.