Давайте последовательно сократим каждую из представленных алгебраических дробей. Начнем с первой.

Первый шаг - разложим числитель на множители. Числитель x^2 - 1 является разностью квадратов и раскладывается так:

• x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)

Теперь подставим это в дробь:

• (x - 1)(x + 1) / (x + 1)

Теперь мы можем сократить (x + 1) в числителе и знаменателе (при условии, что x не равен -1):

• Ответ: x - 1, x ≠ -1

Здесь числитель x^3 - 8 является разностью кубов:

• x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)

Теперь подставим это в дробь:

• (x - 2)(x^2 + 2x + 4) / (x^2 + 2x + 4)

Сократим (x^2 + 2x + 4) (при условии, что x^2 + 2x + 4 не равно 0):

• Ответ: x - 2, x^2 + 2x + 4 ≠ 0

В числителе можно вынести общий множитель x:

• x(x^3 + 27) / (x^2 + 3x)

Теперь в знаменателе также можно вынести общий множитель x:

• x(x^3 + 27) / x(x + 3)

Сократим x (при условии, что x не равен 0):

• Ответ: (x^3 + 27) / (x + 3), x ≠ 0

Теперь x^3 + 27 является суммой кубов и может быть разложен:

• x^3 + 27 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)

Теперь подставим это в дробь:

• ((x + 3)(x^2 - 3x + 9)) / (x + 3)

Сократим (x + 3) (при условии, что x не равен -3):

• Ответ: x^2 - 3x + 9, x ≠ 0, x ≠ -3

Числитель x^6 - 1 является разностью квадратов:

• x^6 - 1 = (x^3 - 1)(x^3 + 1)

Разложим x^3 - 1 и x^3 + 1:

• x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)
• x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)

Теперь подставим все это в дробь:

• ((x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)) / (x - 1)

Сократим (x - 1) (при условии, что x не равен 1):

• Ответ: (x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1), x ≠ 1

Таким образом, мы успешно сократили все представленные дроби. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!